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1、二次型化為規(guī)范型篇一：化二次型為標準型的方法二、二次型及其矩陣表示在解析幾何中，我們看到，當坐標原點與中心重合時，一個有心二次曲線的一般方程是ax2?2bxy?cy2?f.（1）為了便于研究這個二次曲線的幾何性質(zhì)，我們可以選擇適當?shù)慕嵌?，作轉(zhuǎn)軸（反時針方''??x?xcos??ysin?向轉(zhuǎn)軸）?（2）''??y?xsin??ycos?把方程（1）化成標準方程。在二次曲面的研究中也有類似的情況。（1）的左端是一個二次齊次多項式。從代數(shù)的觀點看，所謂化標準方程就是用變量39的線性替換（2）
2、化簡一個二次齊次多項式，使它只含平方項。二次齊次多項式不但在幾何中出現(xiàn)，而且數(shù)學的其他分支以及物理、力學中也常會碰到?，F(xiàn)在就來介紹它的一些最基本的性質(zhì)。x二次齊次多項式設(shè)P是一數(shù)域，一個系數(shù)在數(shù)域P上的x1,x2,...,的nf(x,x,...n,?x)11a1?x122122a1?xx?2...1n2?a1nxx2?a?x222..2.n?2a?xx2n2nn...nax稱為數(shù)域P上的一個n元二次型，或者在不致引起混淆時簡稱二次型。設(shè)x1,x2,...,xn；y1,y2,...,yn是兩組文字，系數(shù)在數(shù)域P中的一組關(guān)系
3、式?x1?c11y1?c12y2?...c1nyn?x?c21y1?c22y2?...c2nyn?2??x3?c31y1?c32y2?...c3nyn（4）39?...........???xn?cn1y2?cn2y2?...cnnyn稱為由x1,x2,...,xn到y(tǒng)1,y2,...,yn的一個線性替換，。如果cij?0，那么線性替換（4）就稱為非退化的。在討論二次型時，矩陣是一個有力的工具，因此把二次型與線性替換用矩陣來表示。另aij=aji，i<j.由于xixj=xjxi，所以f(x1,x2,...,xn)?
4、a11x1?2a12x1x2?...?2a1nx1xn?a22x2?...?2a2nx2xn?...?annxnnn222=?i?1?aj?1ijxixj它的系數(shù)排成一個n*n矩陣?a11a12?a1n?a21a22?a2n39A??????an1an2?anm??????它就稱為二次型的矩陣。顯然它是對稱矩陣。?x1?x2令X??????xn??????于是二次型可寫成f(x1,x2,...,xn)=X'AX非退化線性替換可以表示成X=CY三、化二次型為標準形的方法之一：配方法定理：數(shù)域P上任意二次型都可以經(jīng)過
5、非退化的線性替換變成平方和的形式，即標準形。證明：下面的證明實際就是一個具體的把二次型化成平方和的方法，也就是“配方法”。我們對變量的個數(shù)做數(shù)學歸納法。2對于n=1，而二次型就是f(x1)?a11x1已經(jīng)是平方和的形式了?，F(xiàn)假定對n-1元二次nnij型，定理的結(jié)論成立。再假設(shè)f(x1,x2,...,xn)?分三種情況來討論：39??ai?1j?1xixj（aij=aji）1）aii（i=1，2，…，n）中是少有一個不為零，例如a11?0。這時n21nnnf(x1,x2,...,xn)=a11x+?a1jx1xj+?ai1
6、xix1+?j?2i?2?aijxixji?2j=2n21nn=a11x+2?a1jx1xj+?j?2?aijxixj392i?2j=22=a11??x1????x1??n?j?2nn??n??1?1a11a1jxj?-a11??a1jxj?+???j?2?i?22n?j=2aijxixj=a11這里n?39j?2n??1a11a1jxj?+?i?2?n?j=22bijxixj，n??i?2j=2bijxixj=-a?111n?n???a1jxj?+??j?2?i?2n?j=2aijxixj是一個x2,...,xn的二次
7、型。令39??y1?x1????y2?x2?...........???yn?xnn?j?2?aa1jxj?x1?y1???即?x2?y2?...........???xn?yn-111n?aj?2-111a1jxjnn這是一個非退化線性替換，它使f(x1,x2,...,xn)=a11y+?21?bijxixj。39i?2j=2nn有歸納法假定，對??bijyiyj有非退化線性替換i?2j?2?z2?c22y2?c23y3?...c2nyn??z3?c32y2?c33y3?...c3nyn222能使它變成平方和d2z2?
8、d3z3?...dnzn。??...........?z?cy?cy?...cyn22n33nnn?n于是非退化的線性替換?z1?y1?z?c22y2?c23y3?...c2nyn?2??z3?c32y2?c33y3?...c3nyn?...........???zn?cn2y2?cn3y3?...cnnyn222就
