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《學(xué)士論文廣義逆矩陣的求法探討》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在學(xué)術(shù)論文-天天文庫。
1、廣義逆矩陣的求法探討theseekingofthedharmaandresearchintogeneralizedinversematrix專業(yè):數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)作 者:指導(dǎo)老師:學(xué)校二○一摘要本文介紹了廣義逆矩陣的定義，討論了由Moore-Penrose方程所定義的各種廣義逆的性質(zhì)，在廣義逆矩陣的初等變換法和滿秩分解法的基礎(chǔ)上，研究了幾種特殊的廣義逆矩陣的計算方法.關(guān)鍵詞:廣義逆矩陣；滿秩分解；消元；初等變換法IIAbstractThisarticlediscussesthesystemofgeneralizedInv
2、ersematricesdefined,discussedbytheMoore-PenroseequationisdefinedbythenatureofthevariousGeneralizedinverse,generalizedinversematrixelementarytransformationandfullrankdecomposition,studiedseveralparticulargeneralizedinversematrixcalculatio.Keywords:Generalizedinver
3、sematrix;fullrankdecomposition;elimination;elementarytransformationII目錄摘要IAbstractII0引言11廣義逆矩陣的概念與定理82廣義逆矩陣的計算方法82.1廣義逆矩陣的奇異值分解法82.2廣義逆矩陣的最大值秩分解法92.2極限法求廣義逆矩陣92.3廣義逆矩陣的滿秩分解法112.4初等變換法求廣義逆矩陣15參考文獻(xiàn)210引言矩陣逆的概念只對非奇異方陣才有意義.但是，在實際問題中，我們碰到的矩陣并不都是方陣，即使是方陣，也不都是非奇異的。因此，有必要
4、推廣逆矩陣的概念.為此，本文給出了廣義逆矩陣的定義，并利用廣義逆的性質(zhì)，給出其計算方法。1廣義逆矩陣的概念與定理 定義1.1設(shè)是的矩陣，若的矩陣滿足如下四個方程的全部或者一部分，則稱為的廣義逆矩陣，簡稱廣義逆.(1.1)(1.2)(1.3)(1.4)則稱是的逆，記為.如果某個只滿足（1.1）式，為的{1}廣義逆，記為G{1}；如果另一個滿足（1.1），（1.2）式，則稱為的{1,2}廣義逆，記為{1，2}；如果{1，2，3，4}，則是逆等.下面介紹常用的5種{1},{1,2}，{1,3},{1,4},{1,2,3,4}每
5、一種廣義逆矩陣又都包含著一類矩陣，分述如下：（1）{1}中任意一個確定的廣義逆，稱作減號廣義逆，或g逆，記為；（2）{1,2}中任意一個確定的廣義逆，稱作自反減號逆，記為；（3）{1,3}中任意一個確定的廣義逆，稱作最小范數(shù)廣義逆，記為；（4）{1,4}中任意一個確定的廣義逆，稱作最小二乘廣義逆，記為；（5）{1,2,3,4}：唯一一個，稱作加號逆，或，記為.定義1.2設(shè)是的矩陣（,當(dāng)時，可以討論），若有一個第21頁,共21頁的矩陣（記為）存在，使下式成立，則稱為的減號廣義逆或者逆：(1.5)當(dāng)存在時，顯然滿足上式，可見
6、減號廣義逆是普通廣義逆矩陣的推廣；另外，由得可見，當(dāng)為的一個減號廣義逆時，就是的一個減號廣義逆.定義1.3設(shè)的特征值為則稱為矩陣的正奇異值，簡稱奇異值.定義1.4設(shè)矩陣，如果時存在；或者當(dāng)時，存在有，稱這兩種長方陣為最大秩方陣（滿秩方陣），前者又稱行最大秩矩陣（行滿秩矩陣），后者又稱為列最大秩矩陣（列滿秩矩陣）.定義1.5設(shè)是矩陣,若有矩陣滿足(或),則稱為的右逆(或左逆),記為(或).定理1.1設(shè)是的矩陣，則的逆存在且唯一.證明先證的存在性.設(shè)的奇異值分解其中，是的非零奇異值，與是酉矩陣.令第21頁,共21頁容易驗證滿
7、足四個方程，因此存在.下面證的唯一性.假定也是滿足4個方程，則因此,說明是唯一的，且若是非奇異矩陣，容易驗證滿足4個方程，此時.由此可見逆把逆推廣到所有矩陣（甚至零矩陣）.定理1.2設(shè)，，存在階的可逆矩陣及階可逆矩陣，使則階矩陣使得的充分必要條件是其中分別是階任意矩陣.證明先證必要性，由條件有階及階可逆矩陣，使那么根據(jù)應(yīng)滿足的,有第21頁,共21頁再令分塊如題設(shè)要求，代入上式所以,于是有得到再證充分性，由于則引理1.1對于任意的矩陣，它的減號逆總存在，但不唯一，并且是的一個減號逆【1，2】.引理1.2對于任意的矩陣，它的
8、極小范數(shù)總存在，但不唯一，并且第21頁,共21頁是的一個極小范數(shù)逆【1‘2】.引理1.3對于任意矩陣,它的最小二乘逆總存在,但不唯一,并且它是的一個最小二乘逆【1，2】.引理1.4對于任意矩陣,它的加號逆總存在，并且唯一.其中這里是的滿秩分解式【1，2，3】.定理1.3是矩陣,若是行滿秩矩陣,則總有；是列滿秩矩陣，則
