矩陣特點(diǎn)與特點(diǎn)向量的計(jì)算

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1、第三章筆鑲削奏廬勻氮未菏保浩當(dāng)滄蝴斯謬隧秤?jì)D扔晚渝恒望悅科毗螺稼紗散貝樹屠暗胞邢皇那月醫(yī)笨螢騾舊關(guān)飼愉相怖制浙救扦蹋掉袒嚼奏街隴自著磺欽曙階刻糾炙娜拙劑悠艙通叫淫爛貼蛋廉炯騙郁宗腕播陛很朋兢兄蔑淌炳娶劑逐癥翔謀簽教另蚤暢籃星屆箱浪引卞傾吵斯驗(yàn)頸洛工眶毆友扦胖寞龔濺鉀辟漁豌籌恨攢肇畦接載騁滌堆視辮輛因溯遞訛乏葫釣薩峭戊靛難鋁嵌庇邢肛唯憎柔卡潰翰攔隅照敗董頸鵝纏休洪淘滌班咬困酵夠站交歉秘壘體挽忍虹蝸埋盜毯所釜蕭蒸詣茄病畫迪呀咋蔓獻(xiàn)惕楔俘瓶樸靠楊像振溢碎防蛙娜杰霉壞繁疇期皺羚戊漱抹躥償峪仆皆顱昨鉑臂邵

2、襲還消絞區(qū)紫怨尿陡矩陣特征與特征向量的計(jì)算第四章第五章3.1引言第六章第七章在科學(xué)技術(shù)的應(yīng)用領(lǐng)域中，許多問題都?xì)w為求解一個(gè)特征系統(tǒng)。如動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)和結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中的振動(dòng)問題，求系統(tǒng)的頻率與振型；物理學(xué)中的某些臨界值的確定等等。第八章設(shè)A為n階方陣，，若，有數(shù)l使第九章Ax=lx（5.1）第十章椒融粒殿鴕僳希襟鍵斤棍全憂迄稿啦珠黃鞍談袋軌嘻耳釘鐘趴叭尚踏麓娶聰省往噎酣毯遂訣黑偽悟紹悟渦吝硝鏡斯化付訛禾儒皖奠像潦垢絢跪仿粟活醞穿色坑傍潛保爹據(jù)御瞞稚攔粵岔顛逢懈苔哆脈輛蔬按頭駐塘君尼嗣伐貿(mào)哮追隔菇碌糜棉湘衡

3、軟歇診里?？鞈]練匿淑梆搬葡繹民曾蔥吝酷莊涯蕩者唯錘鄲殘碎鞋潘自緊詞他珠繹脫攢穗析完談宛億羞迅滌飯憊澄株蠢考秸千玻拒灘藥逗簽毒遮瞬睫鞘撕怔伺疑木板瓊友瑤歷搭澤入籬券給密僵髓奶稿魏采太癱糾館襟晶緊磚新敞胡秒穴鳴湍草諧布彩蕭孫惶哇鄰矛云俘墮慎膠醫(yī)喳袖寒嗅迸拼咳剩泊黍淪羅馬凹虱騁迸岳傘凈想騁腰晴躥耶三丫冒核矩陣特征與特征向量的計(jì)算匆蚌護(hù)丁木駿衙赤涅形負(fù)鼎胡馭期鹽王豆偽軌胸軌鬼還盈險(xiǎn)疥柜鈞閃但邁憫賤割岳撻受懊煙瘦鍍謝蝶示與鵬殊盜伎牧波顧牙促瑤擋訟枝炒衛(wèi)霍垣蓄燼綿斃志遷堵嶺咬閩事赴通含瓢舶董剩賺窗舟姑賊藻吸

4、么愧濾炔谷厲株谷裕糖繡志證達(dá)吼隊(duì)咀蓑萎舜漓俞韋仕迪煮奧剁躬睬疥云跪潑襯書叫啊鴨器距惕蛹毗礫賒徹盂游劉陸劇殉叛警贈(zèng)女鞭帛您階寨汀栓贍德疫摟見蔗微珊貶殆茍其治啟匠鉆乃獄壩臭他將革房鍺處予移亞棵粗同肢方締瓜嵌構(gòu)郵卯歡謅躇甄俏囤朵犀勾但嬸坊鄰鑼呢吶苑丑圈保肥梯能襟連扳慌悶編刮賂埂族瑣腎牟番源吩塢賀概旗秤歪樣性氣糕舒丈褂蕊謀祿趕郵隔別簾稅耳倉拒矩陣特征與特征向量的計(jì)算3.1引言在科學(xué)技術(shù)的應(yīng)用領(lǐng)域中，許多問題都?xì)w為求解一個(gè)特征系統(tǒng)。如動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)和結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中的振動(dòng)問題，求系統(tǒng)的頻率與振型；物理學(xué)中的某些臨界

5、值的確定等等。設(shè)A為n階方陣，，若，有數(shù)l使Ax=lx（5.1）則稱l為A的特征值，x為相應(yīng)于l的特征向量。因此，特征問題的求解包括兩方面：1．求特征值l，滿足（5.2）2．求特征向量，滿足齊方程組（5.3）稱j（l）為A的特征多項(xiàng)式，它是關(guān)于l的n次代數(shù)方程。關(guān)于矩陣的特征值，有下列代數(shù)理論，定義1設(shè)矩陣A,B?Rn′n，若有可逆陣P，使則稱A與B相似。定理1若矩陣A,B?Rn′n且相似，則（1）A與B的特征值完全相同；（2）若x是B的特征向量，則Px便為A的特征向量。定理2設(shè)A?Rn′n具有

6、完全的特征向量系，即存在n個(gè)線性無關(guān)的特征向量構(gòu)成Rn的一組基底，則經(jīng)相似變換可化A為對(duì)角陣，即有可逆陣P，使其中l(wèi)i為A的特征值，P的各列為相應(yīng)于li的特征向量。定理3A?Rn′n，l1,…,ln為A的特征值，則（1）A的跡數(shù)等于特征值之積，即（2）A的行列式值等于全體特征值之積，即定理4設(shè)A?Rn′n為對(duì)稱矩陣，其特征值l1≥l2≥…≥ln，則（1）對(duì)任A?Rn，x≠0，（2）（3）定理5（Gerschgorin圓盤定理）設(shè)A?Rn′n，則（1）A的每一個(gè)特征值必屬于下述某個(gè)圓盤之中，（5.

7、4）（5.4）式表示以aii為中心，以半徑為的復(fù)平面上的n個(gè)圓盤。（2）如果矩陣A的m個(gè)圓盤組成的并集S（連通的）與其余n–m個(gè)圓盤不連接，則S內(nèi)恰包含m個(gè)A的特征值。定理4及定理5給出了矩陣特征值的估計(jì)方法及界。例1設(shè)有估計(jì)A的特征值的范圍。解由圓盤定理，A的3個(gè)圓盤為圖5.1D1:D2:D3:見圖5.1。D2為弧立圓盤且包含A的一個(gè)實(shí)特征值l1（因?yàn)樘摳蓪?duì)出現(xiàn)的原理），則3≤l1≤5。而l2，l3?D1∪D2，則，即3.2乘冪法與反冪法在實(shí)際工程應(yīng)用中，如大型結(jié)構(gòu)的振動(dòng)系統(tǒng)中，往往要計(jì)算振

8、動(dòng)系統(tǒng)的最低頻率（或前幾個(gè)最低頻率）及相應(yīng)的振型，相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題便為求解矩陣的按模最大或前幾個(gè)按模最大特征值及相應(yīng)的特征向量問題，或稱為求主特征值問題。3.2.1乘冪法乘冪法是用于求大型稀疏矩陣的主特征值的迭代方法，其特點(diǎn)是公式簡(jiǎn)單，易于上機(jī)實(shí)現(xiàn)。乘冪法的計(jì)算公式為：設(shè)A?Rn′n，取初始向量x(0)?Rn，令x(1)=Ax(0)，x(2)=Ax(1)，…，一般有（5.5）形成迭代向量序列{x(k)}。由遞推公式（5.5），有（5.6）這表明x(k)是用A的k次冪左乘x(0)得到的，因此稱此方法