求矩陣特點(diǎn)值和特點(diǎn)向量

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1、第五章求矩陣特征值與特征向量階方陣的個(gè)特征值就是其特征方程的個(gè)根，方程屬于特征值的特征向量是線(xiàn)性方程組的非零解。本章討論求方陣的特征值和特征向量的兩個(gè)常用的數(shù)值方法。以及求實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣特征值的對(duì)分法。5.1冪法在實(shí)際問(wèn)題中，矩陣的按模最大特征根起著重要的作用。例如矩陣的譜半徑即矩陣的按模最大特征根的值，它決定了迭代矩陣是否收斂。本節(jié)先討論求實(shí)方陣的按模最大特征根的常用迭代法：冪法。5.1.1冪法的基本思想冪法是求實(shí)方陣按模最大特征值及其特征向量的一種迭代方法。它的基本思想是：先任取非零初始向量，然后作迭

2、代序列，（5。1）再根據(jù)增大時(shí)，各分量的變化規(guī)律：按模最大的特征向量會(huì)愈來(lái)愈突出，從而可求出方陣的按模最大特征值及其特征向量。先看一個(gè)計(jì)算實(shí)例。例1設(shè)矩陣用特征方程容易求得的兩個(gè)特征值為，下面用冪法來(lái)計(jì)算，取初始向量，計(jì)算向量序列，具體結(jié)果如表5.1所示.表5.1冪法計(jì)算結(jié)果01021/21123151324144567411213651093401223641094考察兩個(gè)相鄰向量對(duì)應(yīng)分量之比：,,,,，,,,,,由上面計(jì)算看出，兩相鄰向量對(duì)應(yīng)分量之比值，隨的增大而趨向于一個(gè)固定值3，而且這個(gè)值恰好

3、就是矩陣的按模最大的特征值。這一現(xiàn)象是否有普通性？下面進(jìn)行具體分析。5.1.2冪法的計(jì)算公式為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，設(shè)矩陣的幾個(gè)特征值按模的大小排列如下：其相應(yīng)特征向量為，并且是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的，因此可作為維向量空間的一組基。任取初始向量，首先將表示為作迭代序列,則…………于是為了得出計(jì)算和的公式，下面分三種情況討論。1.為實(shí)根，且21/21當(dāng)，充分大時(shí)，則有所以，（5.2）2.為實(shí)根，且，當(dāng)不為0，充分大時(shí)，則有于是得所以（5.3）3．當(dāng)充分大時(shí)，則有于是得21/21若令得（5.4）式（5.4）是以為變量，以的幾個(gè)分

4、量為系數(shù)的矛盾方程組。用最小二乘法解矛盾方程組（5.4），求出，然后再解一元二次方程得到的兩個(gè)根便是的近似值。再由可得和綜上所述，可得（5.5）在實(shí)際應(yīng)用冪法時(shí)，可根據(jù)迭代向量各分量的變化情況來(lái)判定屬于哪種情況。若迭代向各分量單調(diào)變化，且有關(guān)系式，則屬于第1種情況;若迭代向量分量變化不單調(diào)，但有關(guān)系式，則屬于第2種情況；若迭代向量各分量變化不規(guī)則，但有關(guān)系式，則屬于第3種情況。21/215.1.3冪法的實(shí)際計(jì)算公式當(dāng)時(shí)，若，則的分量會(huì)趨于無(wú)窮大；若，則的分量會(huì)趨于零。因此會(huì)使計(jì)算機(jī)出現(xiàn)上溢或下溢現(xiàn)象。

5、為了防止溢出，可采用如下迭代公式（5.6）式（5.6）的更詳細(xì)的帶計(jì)算過(guò)程的計(jì)算公式為：（5.7）注：當(dāng)時(shí)，按模最大特征值為正，故計(jì)算時(shí)取,當(dāng)時(shí)，取。由式（5.6）知……（5.8）在式（5.8）兩端同乘以，得（5.9）因?yàn)?1/21將式（5.8）、（5.9）兩端分別取范數(shù)后，代入上式得所以當(dāng)時(shí)，（5.10）因此當(dāng)充分大時(shí)，就是按模最大的特征值的近似值。利用式（5.9）可得（5.11）另一方面，有（5.12）……將式（5.12）代入式（5.11），有從而（5.13）這說(shuō)明歸一化向量序列收斂于按模最大的特

6、征值所對(duì)應(yīng)的特征向量。因此，當(dāng)充分大時(shí)，就是特征向量的近似值。21/215.1.4冪法的計(jì)算步驟為節(jié)省篇幅，這里僅介紹。1．輸入矩陣的階，系數(shù)，=，允許誤差2．輸出特征值和特征向量（）3．計(jì)算步驟1)給出迭代先導(dǎo)條件計(jì)算公式對(duì)應(yīng)語(yǔ)句s=2*ep;2)用冪法求按模最大特征值及特征向量計(jì)算公式式(5.7)對(duì)應(yīng)語(yǔ)句while(s>ep){for(j=1;j<=n;j++)x[i]=x[i]+a[i][j]*y[j];m=fabs(x[1]);p=1;for(i=2;i<=n;i++)if(fabs(x[i]

7、)>m){m=fabs(x[i]);P=i;}S=0;for(i=1;i<=n;i++)s=s+(x[i]-m*y[i]);for(i=1;i<=n;i++)y[i]=x[i]/m;}5.1.5冪法的計(jì)算實(shí)例例2用冪法求矩陣的按模最大特征值和相應(yīng)的特征向量()。解取，用冪法迭代公式21/21計(jì)算結(jié)果如表5.2所示。表5.2冪法迭代公式計(jì)算結(jié)果表01234561.00001.00001.00002.0000-2.00002.00003.0000-4.00003.00002.5000-3.50002.50

8、002.4286-3.1286-2.42862.4167-3.41672.41672.4146-3.41462.41461.00002.00004.00003.50003.4285703.41673.41461.00000.00001.00001.0000-1.00001.00000.7500-1.00000.75000.7143-1.00000.71430.7083-1.00000.70830.7073-1.00000.70730.7071-1.000