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《丘成桐院士演講：現(xiàn)代幾何的發(fā)展——丘成桐》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、中數(shù)網(wǎng)——http://www.cnmaths.com丘成桐院士演講：現(xiàn)代幾何的發(fā)展丘成桐記錄：林信安（師大數(shù)研所一年級(jí)）今天我要講講幾何的發(fā)展，當(dāng)然這其中有些是我個(gè)人的觀點(diǎn)，不一定每個(gè)人會(huì)同意。談到幾何的對(duì)象與方法可分為動(dòng)態(tài)與靜態(tài)兩方面，靜態(tài)就是幾何圖形，動(dòng)態(tài)是指幾何圖形經(jīng)過運(yùn)動(dòng)而成為另一個(gè)幾何圖形的過程，目前尚未了解很多。幾何的研究與自然現(xiàn)象是很貼近的，亦與基本物理、工程有著密切的關(guān)系，自然界的現(xiàn)象可分為抽象美的幾何、基本物理、工程，幾何就是從這三方面推導(dǎo)出來的，而幾何的研究也會(huì)影響這三方面的研究，總而言之，這三方面對(duì)幾何的影響是互相的。從前埃
2、及時(shí)代主要研究平面、立體幾何，這當(dāng)然是因?yàn)橛泄こ躺系男枰樦茖W(xué)的發(fā)展，到了牛頓力學(xué)發(fā)展后，平面幾何已不夠去描述運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象，于是有微積分的產(chǎn)生，有了微積分，就可以討論曲線、曲面；另一方面，Euler、Lagrange為了應(yīng)用積分到流體，因而有了變分法的發(fā)展。18世紀(jì)變分法引進(jìn)幾何，是幾何上重大的發(fā)展，這影響到了后來微分幾何的研究。18世紀(jì)微分幾何的問題是集中在研究曲線（直線與平面的關(guān)系），另一方面也開始研究一個(gè)嵌入R3的曲面，這是從Gauss開始的，Gauss對(duì)微分幾何主要的貢獻(xiàn)是研究Gauss曲率與內(nèi)在幾何間的關(guān)系。內(nèi)在性是指只與度量有關(guān)而與曲面
3、在空間中寫法無關(guān)，例如一張紙曲率K=0，將其卷起來，intrinsicgeometry，不變曲率K=0，但extrinsicgeometry有變化，而Gauss就是證明了Gauss曲率為intrinsicgeometry的不變量。另一方面ComplexAnalysis的引進(jìn)，對(duì)微分幾何的研究有很深的影響，ComplexAnalysis的引進(jìn)，對(duì)微分幾何的研究有很大的影響，ComplexAnalysis是為了研究流體力學(xué)，而發(fā)展出來的；第4頁共4頁中數(shù)網(wǎng)——http://www.cnmaths.comLobatchevsky研究曲率K=-1的雙曲空間
4、，這個(gè)研究與平行公理有很大的關(guān)系，這是幾何發(fā)展的重要里程碑。19世紀(jì)G.B.黎曼繼承Gauss的思想，將2維的曲面之研究，推廣到高維空間上，而形成了黎曼空間，這個(gè)空間形成之后，為幾何的研究開啟了新的一頁。(M1,d1)(M2,d2)何時(shí)可以將他們看成同一空間，即何時(shí)可找到使距離沒有變化，i.e.，例如將卷起來的紙攤平這是幾何上一個(gè)很重要的問題，是唯一性的問題。一般而言，曲率K是一個(gè)重要的invariant。例如，一張平坦的紙K=0無論如何不能"相等"于球面K=1，后來又引進(jìn)了連絡(luò)(connection)，這是微分的推廣，主要是Christoffel
5、，Ricci，Levi-Civita等人的貢獻(xiàn)，它們不是在平坦的空間中研究微分的問題，發(fā)現(xiàn)一般平坦的空間，，但是在不平坦的曲面上與曲面的曲率有關(guān)。19世紀(jì)末期，F(xiàn)lexKlein認(rèn)為大部分的微分幾何可用李群（或離散群）去解釋，很多幾何對(duì)象可看成homogeneousspace，當(dāng)初很多人認(rèn)為很多微分幾何的現(xiàn)象不能看成變換群，到了E.Cartan對(duì)李群的分類有很大的影響，他引進(jìn)了活動(dòng)標(biāo)架法，20世紀(jì)初期，Cartan、FlexKlein對(duì)幾何的看法與Gauss、黎曼的幾何方法結(jié)合，才得出一種新的方法-活動(dòng)標(biāo)架法。Poincaré考慮變分法在微分幾何上
6、的應(yīng)用，他是考慮測地線(geodesic)的問題：在R3上的封閉曲面上，找一條封閉的測地線，例如第4頁共4頁中數(shù)網(wǎng)——http://www.cnmaths.com在球上的大圓Morse則將此問題考慮到高維度上，如何去找封閉測地線，有關(guān)測地線的問題尚有，在二維的封閉曲面上至少有3條不相交的封閉測地線，這是很有名的問題，直到最近才有較詳細(xì)的證明。Morse理論在微分幾何，工程上有很大的貢獻(xiàn)，開始了微分幾何上大范圍的幾何研究。測地線的問題在高維度上的推廣是最小曲面(minimalsurface)的問題，最初是Weierstrass引進(jìn)ComplexAna
7、lysis的方法，這是ComplexAnalysis影響微分幾何的一個(gè)例子。從測地線，最小曲面的研究，微分方程開始對(duì)微分幾何的研究產(chǎn)生影響，近十年來，這方面的發(fā)展尤其神速，但對(duì)非線性拋物型偏微分方程我們尚不明了，因此對(duì)于動(dòng)態(tài)的幾何并不清楚。例如Rauch考慮固定兩點(diǎn)的測地線，研究不是最短距離的測物線，而考慮index理論經(jīng)過擾動(dòng)(Perturbation)后的情形，而index理論是由O.D.E中的Sturm-Liouville來的，Rauch發(fā)現(xiàn)曲率與拓樸性間有密切的關(guān)系，這是從Morse理論得到的。在大域幾何方面，Gauss-Bonnet定理，
8、（其中M第4頁共4頁中數(shù)網(wǎng)——http://www.cnmaths.com為定向二維緊致曲面）是一個(gè)代表，陳省身先生將這個(gè)
