充分條件和必要條件學(xué)案2

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1、第3課時　充分條件和必要條件(2)　教學(xué)過程一、問題情境對于“命題p是q成立的充要條件”和“命題p成立的充要條件是q”,充分性、必要性分別指的是什么?二、數(shù)學(xué)建構(gòu)1.充要條件如果既有p?q,又有q?p,就記作p?q.我們就說,p和q互為充要條件.(1)符號“?”叫做等價符號,“p?q”表示“p?q且p?q”,也表示“p等價于q”;(2)“充要條件”有時還可以改用“當且僅當”來表示,其中“當”表示“充分”,“僅當”表示“必要”.2.充要條件的判斷方法四種“命題”反映了命題的條件與結(jié)論之間的因果關(guān)系,

2、所以在判斷時應(yīng)注意:(1)確定條件是什么,結(jié)論是什么;(2)嘗試從條件推出結(jié)論,從結(jié)論推出條件(方法有直接證法或間接證法);(3)確定條件是結(jié)論的什么條件;(4)充要性包含:充分性p?q,必要性q?p,這兩個方面,缺一不可.三、數(shù)學(xué)運用【例1】　若M是N的充分不必要條件,N是P的充要條件,Q是P的必要不充分條件,則M是Q的什么條件?(見學(xué)生用書P5)[處理建議]　引導(dǎo)學(xué)生用推導(dǎo)符號先表示出它們的關(guān)系.[規(guī)范板書]　解　由題意可知M?N?P?Q,顯然M是Q的充分不必要條件.[題后反思]　命題的充分必

3、要性具有傳遞性.【例2】　若不等式

4、x-a

5、<2成立的充分不必要條件是1

6、x-a

7、<2的解集,再由其解集與{x

8、1

9、x-a

10、<2,得a-2

11、x滿足條件p},B={x

12、x滿足條件q}.①若p為q的充分條件,q為p的必要條件,則A?B

13、;②若q為p的充分條件,p為q的必要條件,則B?A.【例3】　求證:實系數(shù)一元二次方程x2+px+q=0有兩個異號實根的充要條件是q<0.(見學(xué)生用書P6)[處理建議]　要區(qū)分清楚“必要性”“充分性”各應(yīng)證明什么命題,分清兩種情況下的條件和結(jié)論各是什么.[規(guī)范板書]　證明　①充分性:因為q<0,所以方程x2+px+q=0的Δ=p2-4q>0,所以方程x2+px+q=0有兩個不相等的實根,設(shè)其為x1,x2.因為x1·x2=q<0,所以方程x2+px+q=0有兩個異號實根.②必要性:因為方程x2+px

14、+q=0有兩個異號實根,設(shè)其為x1,x2,所以x1·x2<0.因為x1·x2=q,所以q<0.由①②,原命題得證.[題后反思]　證明充要條件,實際上需要證明原命題和逆命題都成立.它亦等價于證明:(1)原命題和否命題都成立;(2)逆否命題和逆命題都成立;(3)逆否命題和否命題都成立.這種等價轉(zhuǎn)換的思想,就能使思路更廣闊,方法更靈活,復(fù)雜問題簡單化.*【例4】　求證:對于任意的x,y∈R,“xy=0”是“x2+y2=0”的必要不充分條件.[處理建議]　要證明必要不充分條件,就是要證明兩個方面,一個是必

15、要條件,另一個是不充分條件.結(jié)合上題引導(dǎo)學(xué)生證明不充分性.[規(guī)范板書]　證明　必要性:對于任意的x,y∈R,如果x2+y2=0,那么x=0,y=0,即xy=0.故“xy=0”是“x2+y2=0”的必要條件.不充分性:對于任意的x,y∈R,如果xy=0,如x=0,y=1,此時x2+y2≠0,故“xy=0”不是“x2+y2=0”的充分條件.綜上,對于任意的x,y∈R,“xy=0”是“x2+y2=0”的必要不充分條件.[題后反思]　(1)判斷p是q的什么條件,常用的方法是驗證由p能否推出q,由q能否推出

16、p,對于否定性命題,注意利用等價命題來判斷.(2)證明充要條件時,既要證明充分性,又要證明必要性,即證明原命題和逆命題都成立,但要分清必要性、充分性是證明怎樣的一個式子成立.“A的充要條件為B”的命題的證明:A?B證明了必要性;B?A證明了充分性.“A是B的充要條件”的命題的證明:A?B證明了充分性;B?A證明了必要性.四、課堂練習(xí)1.“xy≥0”是“

17、x+y

18、=

19、x

20、+

21、y

22、”的充要條件.2.“A∩B=A”是“A=B”的必要不充分條件.3.已知p:x+y≠-2,q:x,y不都是-1,那么p是q的

23、充分不必要條件.4.求證:函數(shù)f(x)=ax2+bx+c是偶函數(shù)的充要條件是b=0.證明　充分性:若b=0,則f(x)=ax2+c,所以f(-x)=a(-x)2+c=ax2+c=f(x),故f(x)為偶函數(shù);必要性:若f(x)為偶函數(shù),則f(x)=f(-x),即ax2+bx+c=a(-x)2-bx+c對任意的x∈R恒成立,所以b=0.綜上,函數(shù)f(x)=ax2+bx+c是偶函數(shù)的充要條件是b=0.五、課堂小結(jié)1.“充要條件”的判定方法.2.理解充要條件的含義并解決有關(guān)問題.