實(shí)變函數(shù)集合答案

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1、第一章集合一、內(nèi)容小結(jié)1.這一章學(xué)習(xí)了集合的概念、表示方法、集合的運(yùn)算（并、交、差、補(bǔ)）；引入了集合列的上、下極限和極限的運(yùn)算；對(duì)集合運(yùn)算規(guī)則作了仔細(xì)的討論，特別是德摩根公式。2.引入了集合對(duì)等的概念，證明了判別兩個(gè)集合對(duì)等的有力工具——伯恩斯坦定理。3.引入了集合基數(shù)的概念，深入地研究了可數(shù)基數(shù)和連續(xù)基數(shù)。二、學(xué)習(xí)要點(diǎn)1.準(zhǔn)確熟練地掌握集合的運(yùn)算法則，特別要注意集合運(yùn)算既有和代數(shù)運(yùn)算在形式上一許多類似的公式，但也有許多本質(zhì)。但是千萬(wàn)不要不加證明地把代數(shù)恒等式搬到集合運(yùn)算中來(lái)。例如：(a+b)-a=b,但是

2、(A+B)-B=A卻不一定成立。條件為A,B不交。2.可數(shù)集合是所有無(wú)限集中最小的無(wú)限集。若可數(shù)A去掉可數(shù)B后若還無(wú)限則C必可數(shù)。3.存在不可數(shù)集。無(wú)最大基數(shù)集。以下介紹學(xué)習(xí)中應(yīng)掌握的方法4.肯定方面與否定方面。5.集合列的上、下限集是用集合運(yùn)算來(lái)解決分析問(wèn)題的基礎(chǔ)，應(yīng)很好地掌握。其中用交并表示很重要。對(duì)第四章的學(xué)習(xí)特別重要。6.基數(shù)部分重點(diǎn)：集合對(duì)等、構(gòu)造集合的一一對(duì)應(yīng)；利用對(duì)等的傳遞性（伯恩斯坦定理）來(lái)進(jìn)行相應(yīng)的證明。7.集合可數(shù)性的證明方法很重要：可排列、與已知可數(shù)集對(duì)等、利用集合的運(yùn)算得到可數(shù)、第四

3、節(jié)定理6.8.證明集合基數(shù)為C中常用到已知的基數(shù)為C的集合。三、習(xí)題解答1.證明：證明,得若且，得因此設(shè)當(dāng)然有，若由且，可知且，所以同樣有因此，所以2.證明⑴⑵⑶⑷⑸⑹證明⑴=⑵⑶⑷⑸⑹3.證明：；證明：4.證明：證明設(shè)，則，但，因此對(duì)任意，，所以，因而設(shè)則任意，，即，，因此則，但，得，所以5.證明：⑴;⑵.證明⑴⑵.6.設(shè)是一列集合，作,。證明是一列互不相交的集，而且證明若，不妨設(shè)，顯然設(shè)，若，則，若，令是最小的自然數(shù)使，即而，這樣,所以證畢。7.設(shè)，求出集列的上限集和下限集。解；設(shè)，則存在N，使時(shí)，因此

4、時(shí)，，即，所以屬于下標(biāo)比N大的一切偶數(shù)指標(biāo)集，從而屬于無(wú)限多，得，又顯然，所以。若有，則存在N，使對(duì)任意，有，因此若時(shí)，，即，令，得，此不可能，所以。8.證明證明設(shè)則存在N，使對(duì)任意，有，所以，所以；設(shè)，則有，使，即對(duì)任意，有，所以，因此。9.作出一個(gè)（-1，1）和的1—1對(duì)應(yīng)，并寫出這一一對(duì)應(yīng)的解析表達(dá)式解，對(duì)任意，10.證明：將球面去掉一點(diǎn)以后，余下的點(diǎn)所成的集合和整個(gè)平面上的點(diǎn)所成的集合是對(duì)等的.證明只要證明球面S：去掉點(diǎn)后與平面M對(duì)等即可.此可由球極投影來(lái)做到；對(duì)任意，，易驗(yàn)證是1—1的，映上的，因

5、此S與M是對(duì)等的，證畢。11.證明：由直線上某些互不相交的開區(qū)間所謂集A的元素，則A至多為可數(shù)集.證明設(shè)，在每一中任取一點(diǎn)有理數(shù)使與對(duì)應(yīng).因?yàn)槭腔ゲ幌嘟坏?，因此這個(gè)對(duì)應(yīng)是1—1的，而G與有理數(shù)的子集對(duì)等，因此G至多可數(shù)。12.證明：所有系數(shù)為有理數(shù)的多項(xiàng)式組成一可數(shù)集.證明：次有理系數(shù)多項(xiàng)式全體所成的集合：所有系數(shù)為有理數(shù)的多項(xiàng)式全體所成的集合由+1個(gè)獨(dú)立記號(hào)所決定，（系數(shù)），每個(gè)記號(hào)（首位不取0）可獨(dú)立跑遍全體有理數(shù)（可數(shù)個(gè)）因此由§4定理6，，又由§4定理6，.13.設(shè)A是平面上以有理點(diǎn)（即坐標(biāo)都是有理

6、數(shù)）為中心，有理數(shù)為半徑的圓的全體，則A是可數(shù)集.證明任意A中的圓，由三個(gè)獨(dú)立記號(hào)所決定；，其中是圓心的坐標(biāo)，是圓半徑，各自跑遍有理數(shù)，跑遍大于0的有理數(shù)，因而都是可數(shù)集.所以.14.證明：增函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)最多只有可數(shù)多個(gè).證明設(shè)是上的增函數(shù)，記不連續(xù)點(diǎn)全體為E，由數(shù)學(xué)分析知：⑴任意，及都存在。⑵的充分必要條件為⑶任意，若，則因此每一，對(duì)應(yīng)于直線上的開區(qū)間，且由（3）可知E中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的這樣的開區(qū)間是互不相交的，由11題知至多可數(shù)。15.試找出使（0，1）和之間1—1對(duì)應(yīng)的一種方法.解記（0，1）中有理數(shù)全體令

7、顯然是（0，1）和之間的1—1映射。16.設(shè)A是一可數(shù)集合，則A的所有有限子集所成的集合亦必可數(shù).證明設(shè)，A的有限子集的全體為,，的子集全體為，易計(jì)算中共有個(gè)元素，而，因此至多為可數(shù)的.又A中一個(gè)元素組成的集合是可數(shù)的，因而是可數(shù)的.17.證明：上的全體無(wú)理數(shù)做成的集合其基數(shù)為C.證明記上的無(wú)理數(shù)全體為A，上的有理數(shù)全體為，顯然令,,,則是A到的1—1對(duì)應(yīng)，由的基數(shù)為C，可知A的基數(shù)也是C。18.若集A中每個(gè)元素，由互相獨(dú)立的可數(shù)個(gè)指標(biāo)決定，即，而每個(gè)取遍一個(gè)基數(shù)為C的集，則A的基數(shù)也是C。證明設(shè)，，，因而

8、有到實(shí)數(shù)集R的1—1映射.令是A到的一映射，對(duì)任意。，下面證明是1—1映射.若，則對(duì)任意，，由于是一對(duì)一的，因此，所以，對(duì)任意，因?yàn)槭怯成系?，必有，使，所以有，使，即?—1映射.所以A與的基數(shù)相同，等于C。19.若的基數(shù)為C，證明：存在使的基數(shù)也是C.證明由于，我們不妨設(shè)，用反證法，若，，設(shè)為到R中如下定義的映射：若則，令，則，，所以對(duì)每個(gè)，存在，于是.下證.事實(shí)上，若，則存在使，于是，這與矛盾，所以，這又與矛