實變函數(shù)集合答案

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1、第一章集合一、內(nèi)容小結1.這一章學習了集合的概念、表示方法、集合的運算（并、交、差、補）；引入了集合列的上、下極限和極限的運算；對集合運算規(guī)則作了仔細的討論，特別是德摩根公式。2.引入了集合對等的概念，證明了判別兩個集合對等的有力工具——伯恩斯坦定理。3.引入了集合基數(shù)的概念，深入地研究了可數(shù)基數(shù)和連續(xù)基數(shù)。二、學習要點1.準確熟練地掌握集合的運算法則，特別要注意集合運算既有和代數(shù)運算在形式上一許多類似的公式，但也有許多本質(zhì)。但是千萬不要不加證明地把代數(shù)恒等式搬到集合運算中來。例如：(a+b)-a=b,但是(A+B)-B=

2、A卻不一定成立。條件為A,B不交。2.可數(shù)集合是所有無限集中最小的無限集。若可數(shù)A去掉可數(shù)B后若還無限則C必可數(shù)。3.存在不可數(shù)集。無最大基數(shù)集。以下介紹學習中應掌握的方法4.肯定方面與否定方面。5.集合列的上、下限集是用集合運算來解決分析問題的基礎，應很好地掌握。其中用交并表示很重要。對第四章的學習特別重要。6.基數(shù)部分重點：集合對等、構造集合的一一對應；利用對等的傳遞性（伯恩斯坦定理）來進行相應的證明。7.集合可數(shù)性的證明方法很重要：可排列、與已知可數(shù)集對等、利用集合的運算得到可數(shù)、第四節(jié)定理6.8.證明集合基數(shù)為C中

3、常用到已知的基數(shù)為C的集合。三、習題解答1.證明：證明,得若且，得因此設當然有，若由且，可知且，所以同樣有因此，所以2.證明⑴⑵⑶⑷⑸⑹證明⑴=⑵⑶⑷⑸⑹3.證明：；證明：4.證明：證明設，則，但，因此對任意，，所以，因而設則任意，，即，，因此則，但，得，所以5.證明：⑴;⑵.證明⑴⑵.6.設是一列集合，作,。證明是一列互不相交的集，而且證明若，不妨設，顯然設，若，則，若，令是最小的自然數(shù)使，即而，這樣,所以證畢。7.設，求出集列的上限集和下限集。解；設，則存在N，使時，因此時，，即，所以屬于下標比N大的一切偶數(shù)指標集，從

4、而屬于無限多，得，又顯然，所以。若有，則存在N，使對任意，有，因此若時，，即，令，得，此不可能，所以。8.證明證明設則存在N，使對任意，有，所以，所以；設，則有，使，即對任意，有，所以，因此。9.作出一個（-1，1）和的1—1對應，并寫出這一一對應的解析表達式解，對任意，10.證明：將球面去掉一點以后，余下的點所成的集合和整個平面上的點所成的集合是對等的.證明只要證明球面S：去掉點后與平面M對等即可.此可由球極投影來做到；對任意，，易驗證是1—1的，映上的，因此S與M是對等的，證畢。11.證明：由直線上某些互不相交的開區(qū)間

5、所謂集A的元素，則A至多為可數(shù)集.證明設，在每一中任取一點有理數(shù)使與對應.因為是互不相交的，因此這個對應是1—1的，而G與有理數(shù)的子集對等，因此G至多可數(shù)。12.證明：所有系數(shù)為有理數(shù)的多項式組成一可數(shù)集.證明：次有理系數(shù)多項式全體所成的集合：所有系數(shù)為有理數(shù)的多項式全體所成的集合由+1個獨立記號所決定，（系數(shù)），每個記號（首位不取0）可獨立跑遍全體有理數(shù)（可數(shù)個）因此由§4定理6，，又由§4定理6，.13.設A是平面上以有理點（即坐標都是有理數(shù)）為中心，有理數(shù)為半徑的圓的全體，則A是可數(shù)集.證明任意A中的圓，由三個獨立記

6、號所決定；，其中是圓心的坐標，是圓半徑，各自跑遍有理數(shù)，跑遍大于0的有理數(shù)，因而都是可數(shù)集.所以.14.證明：增函數(shù)的不連續(xù)點最多只有可數(shù)多個.證明設是上的增函數(shù)，記不連續(xù)點全體為E，由數(shù)學分析知：⑴任意，及都存在。⑵的充分必要條件為⑶任意，若，則因此每一，對應于直線上的開區(qū)間，且由（3）可知E中點對應的這樣的開區(qū)間是互不相交的，由11題知至多可數(shù)。15.試找出使（0，1）和之間1—1對應的一種方法.解記（0，1）中有理數(shù)全體令顯然是（0，1）和之間的1—1映射。16.設A是一可數(shù)集合，則A的所有有限子集所成的集合亦必可數(shù)

7、.證明設，A的有限子集的全體為,，的子集全體為，易計算中共有個元素，而，因此至多為可數(shù)的.又A中一個元素組成的集合是可數(shù)的，因而是可數(shù)的.17.證明：上的全體無理數(shù)做成的集合其基數(shù)為C.證明記上的無理數(shù)全體為A，上的有理數(shù)全體為，顯然令,,,則是A到的1—1對應，由的基數(shù)為C，可知A的基數(shù)也是C。18.若集A中每個元素，由互相獨立的可數(shù)個指標決定，即，而每個取遍一個基數(shù)為C的集，則A的基數(shù)也是C。證明設，，，因而有到實數(shù)集R的1—1映射.令是A到的一映射，對任意。，下面證明是1—1映射.若，則對任意，，由于是一對一的，因此

8、，所以，對任意，因為是映上的，必有，使，所以有，使，即是1—1映射.所以A與的基數(shù)相同，等于C。19.若的基數(shù)為C，證明：存在使的基數(shù)也是C.證明由于，我們不妨設，用反證法，若，，設為到R中如下定義的映射：若則，令，則，，所以對每個，存在，于是.下證.事實上，若，則存在使，于是，這與矛盾，所以，這又與矛