反證法邏輯原理 孫賢忠

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1、反證法邏輯原理即證“完備性前提下的原命題的逆否命題”作者：孫賢忠（湖南省長沙市第七中學(xué)郵編：410003）【摘要】：闡明反證法的定義、邏輯依據(jù)、證明的一般步驟、種類，探索其在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。這實際上就是在證“完備性前提下的原命題的逆否命題”了。一個命題：若A則B為真，這只是簡潔的形式，因為若A則B為真，其本身就還含有所有的已知定義,定理,大家都知道的事實，乃至正確的邏輯推理等等一切必須為真的系統(tǒng)性條件為真，否則絕不可能推出結(jié)論B為真?！娟P(guān)鍵詞】：反證法證明矛盾逆否命題一反證法出現(xiàn)反證法（ProofsbyContradictio

2、n，又稱歸謬法、背理法），是一種論證方式，他首先假設(shè)某命題不成立（即在原命題的條件下，結(jié)論不成立），然后推理出明顯矛盾的結(jié)果，從而下結(jié)論說明假設(shè)不成立，原命題得證。反證法常稱作Reductioadabsurdum，是拉丁語中的“轉(zhuǎn)化為不可能”，源自希臘語中的“?ει?τοαδυνατονπαγωγη”，阿基米德經(jīng)常使用它。?二反證法所依據(jù)的邏輯思維規(guī)律?反證法所依據(jù)的是邏輯思維規(guī)律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思維過程中，兩個互相矛盾的判斷不能同時都為真，至少有一個是假的，這就是邏輯思維中的“矛盾律”；兩個互相矛盾的判斷不能

3、同時都假，簡單地說“A或者非A”，這就是邏輯思維中的“排中律”。反證法在其證明過程中，得到矛盾的判斷，根據(jù)“矛盾律”，這些矛盾的判斷不能同時為真，必有一假，而已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題都是真的，所以“否定的結(jié)論”必為假。再根據(jù)“排中律”，結(jié)論與“否定的結(jié)論”這一對立的互相否定的判斷不能同時為假，必有一真，于是我們得到原結(jié)論必為真。所以反證法是以邏輯思維的基本規(guī)律和理論為依據(jù)的，反證法是可信的。反證法是“間接證明法”一類，是從反方向證明的證明方法，即：肯定題設(shè)而否定結(jié)論，從而得出矛盾。法國數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪(

4、Hadamard)對反證法的實質(zhì)作過概括：“若肯定定理的假設(shè)而否定其結(jié)論，就會導(dǎo)致矛盾”。具體地講，反證法就是從反論題入手，把命題結(jié)論的否定當(dāng)作條件，使之得到與條件相矛盾，肯定了命題的結(jié)論，從而使命題獲得了證明。在應(yīng)用反證法證題時，一定要用到“反設(shè)”，否則就不是反證法。用反證法證題時，如果欲證明的命題的方面情況只有一種，那么只要將這種情況駁倒了就可以，這種反證法又叫“歸謬法”；如果結(jié)論的方面情況有多種，那么必須將所有的反面情況一一駁倒，才能推斷原結(jié)論成立，這種證法又叫“窮舉法”。7反證法在數(shù)學(xué)中經(jīng)常運用。當(dāng)論題從正面不容易或不能

5、得到證明時，就需要運用反證法，此即所謂"正難則反"。三反證法所依據(jù)的邏輯基礎(chǔ)牛頓曾經(jīng)說過：“反證法是數(shù)學(xué)家最精當(dāng)?shù)奈淦髦弧薄Ｒ话銇碇v，反證法常用來證明正面證明有困難,情況多或復(fù)雜,而逆否命題則比較淺顯的題目，問題可能解決得十分干脆。反證法的證題可以簡要的概括為“否定→得出矛盾→否定”。即從否定結(jié)論開始，得出矛盾，達(dá)到新的否定，可以認(rèn)為反證法的基本思想就是辯證的“否定之否定”。應(yīng)用反證法的是：欲證“若P則Q”為真命題，從相反結(jié)論出發(fā)，得出矛盾，從而原命題為真命題。反證法的證明主要用到“一個命題與其逆否命題同真假”的結(jié)論，為什么？

6、這個結(jié)論可以用窮舉法證明：某命題：若A則B，則此命題有4種情況：1.當(dāng)A為真，B為真，則A→B為真，﹁B→﹁A為真；2.當(dāng)A為真，B為假，則A→B為假，﹁B→﹁A為假；3.當(dāng)A為假，B為真，則A→B為真，﹁B→﹁A為真；4.當(dāng)A為假，B為假，則A→B為真，﹁B→﹁A為真；∴一個命題與其逆否命題同真假與若A則B先等價的是它的逆否命題若﹁B則﹁A假設(shè)﹁B,推出﹁A,就說明逆否命題是真的,那么原命題也是真的.但實際推證的過程中,推出﹁A是相當(dāng)困難的,所以就轉(zhuǎn)化為了推出與﹁A相同效果的內(nèi)容即可,這個相同效果就是與A(已知條件)矛盾,或是

7、與已知定義,定理,大家都知道的事實等矛盾.這實際上就是在證“完備性前提下的原命題的逆否命題”了。一個命題：若A則B為真，這只是簡潔的形式，因為若A則B為真，其本身就還含有所有的已知定義,定理,大家都知道的事實，乃至正確的邏輯推理等等一切必須為真的系統(tǒng)性條件為真，否則絕不可能推出結(jié)論B為真。這樣就有命題：若A則B為真，應(yīng)該完備成命題：若A且C（定義）且D（定理）且E（正確的邏輯推理）且F(客觀事實)以及且……則B。于是逆否命題就是:若﹁B,則﹁A或﹁C（定義）或﹁D（定理）或﹁E（正確的邏輯推理）或﹁F(客觀事實)以及或﹁……，逆

8、否命題至少有一個，證出一個就可以了。在數(shù)學(xué)的證明中，經(jīng)常運用反證法。在命題邏輯推理中，反證法是證明一個公式是某個前提集合的有效結(jié)論的逆否命題。設(shè)A1，A2，…，Am是命題公式，如果A1ùA2ù…ùAm是可滿足的，稱A1，A2，…，Am是相容的。如果A1ùA2ù…