反證法邏輯原理 孫賢忠

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1、反證法邏輯原理即證“完備性前提下的原命題的逆否命題”作者:孫賢忠(湖南省長沙市第七中學(xué)郵編:410003)【摘要】:闡明反證法的定義、邏輯依據(jù)、證明的一般步驟、種類,探索其在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。這實際上就是在證“完備性前提下的原命題的逆否命題”了。一個命題:若A則B為真,這只是簡潔的形式,因為若A則B為真,其本身就還含有所有的已知定義,定理,大家都知道的事實,乃至正確的邏輯推理等等一切必須為真的系統(tǒng)性條件為真,否則絕不可能推出結(jié)論B為真?!娟P(guān)鍵詞】:反證法證明矛盾逆否命題一反證法出現(xiàn)反證法(ProofsbyContradictio

2、n,又稱歸謬法、背理法),是一種論證方式,他首先假設(shè)某命題不成立(即在原命題的條件下,結(jié)論不成立),然后推理出明顯矛盾的結(jié)果,從而下結(jié)論說明假設(shè)不成立,原命題得證。反證法常稱作Reductioadabsurdum,是拉丁語中的“轉(zhuǎn)化為不可能”,源自希臘語中的“?ει?τοαδυνατονπαγωγη”,阿基米德經(jīng)常使用它。?二反證法所依據(jù)的邏輯思維規(guī)律?反證法所依據(jù)的是邏輯思維規(guī)律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思維過程中,兩個互相矛盾的判斷不能同時都為真,至少有一個是假的,這就是邏輯思維中的“矛盾律”;兩個互相矛盾的判斷不能

3、同時都假,簡單地說“A或者非A”,這就是邏輯思維中的“排中律”。反證法在其證明過程中,得到矛盾的判斷,根據(jù)“矛盾律”,這些矛盾的判斷不能同時為真,必有一假,而已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題都是真的,所以“否定的結(jié)論”必為假。再根據(jù)“排中律”,結(jié)論與“否定的結(jié)論”這一對立的互相否定的判斷不能同時為假,必有一真,于是我們得到原結(jié)論必為真。所以反證法是以邏輯思維的基本規(guī)律和理論為依據(jù)的,反證法是可信的。反證法是“間接證明法”一類,是從反方向證明的證明方法,即:肯定題設(shè)而否定結(jié)論,從而得出矛盾。法國數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪(

4、Hadamard)對反證法的實質(zhì)作過概括:“若肯定定理的假設(shè)而否定其結(jié)論,就會導(dǎo)致矛盾”。具體地講,反證法就是從反論題入手,把命題結(jié)論的否定當(dāng)作條件,使之得到與條件相矛盾,肯定了命題的結(jié)論,從而使命題獲得了證明。在應(yīng)用反證法證題時,一定要用到“反設(shè)”,否則就不是反證法。用反證法證題時,如果欲證明的命題的方面情況只有一種,那么只要將這種情況駁倒了就可以,這種反證法又叫“歸謬法”;如果結(jié)論的方面情況有多種,那么必須將所有的反面情況一一駁倒,才能推斷原結(jié)論成立,這種證法又叫“窮舉法”。7反證法在數(shù)學(xué)中經(jīng)常運用。當(dāng)論題從正面不容易或不能

5、得到證明時,就需要運用反證法,此即所謂"正難則反"。三反證法所依據(jù)的邏輯基礎(chǔ)牛頓曾經(jīng)說過:“反證法是數(shù)學(xué)家最精當(dāng)?shù)奈淦髦弧薄R话銇碇v,反證法常用來證明正面證明有困難,情況多或復(fù)雜,而逆否命題則比較淺顯的題目,問題可能解決得十分干脆。反證法的證題可以簡要的概括為“否定→得出矛盾→否定”。即從否定結(jié)論開始,得出矛盾,達(dá)到新的否定,可以認(rèn)為反證法的基本思想就是辯證的“否定之否定”。應(yīng)用反證法的是:欲證“若P則Q”為真命題,從相反結(jié)論出發(fā),得出矛盾,從而原命題為真命題。反證法的證明主要用到“一個命題與其逆否命題同真假”的結(jié)論,為什么?

6、這個結(jié)論可以用窮舉法證明:某命題:若A則B,則此命題有4種情況:1.當(dāng)A為真,B為真,則A→B為真,﹁B→﹁A為真;2.當(dāng)A為真,B為假,則A→B為假,﹁B→﹁A為假;3.當(dāng)A為假,B為真,則A→B為真,﹁B→﹁A為真;4.當(dāng)A為假,B為假,則A→B為真,﹁B→﹁A為真;∴一個命題與其逆否命題同真假與若A則B先等價的是它的逆否命題若﹁B則﹁A假設(shè)﹁B,推出﹁A,就說明逆否命題是真的,那么原命題也是真的.但實際推證的過程中,推出﹁A是相當(dāng)困難的,所以就轉(zhuǎn)化為了推出與﹁A相同效果的內(nèi)容即可,這個相同效果就是與A(已知條件)矛盾,或是

7、與已知定義,定理,大家都知道的事實等矛盾.這實際上就是在證“完備性前提下的原命題的逆否命題”了。一個命題:若A則B為真,這只是簡潔的形式,因為若A則B為真,其本身就還含有所有的已知定義,定理,大家都知道的事實,乃至正確的邏輯推理等等一切必須為真的系統(tǒng)性條件為真,否則絕不可能推出結(jié)論B為真。這樣就有命題:若A則B為真,應(yīng)該完備成命題:若A且C(定義)且D(定理)且E(正確的邏輯推理)且F(客觀事實)以及且……則B。于是逆否命題就是:若﹁B,則﹁A或﹁C(定義)或﹁D(定理)或﹁E(正確的邏輯推理)或﹁F(客觀事實)以及或﹁……,逆

8、否命題至少有一個,證出一個就可以了。在數(shù)學(xué)的證明中,經(jīng)常運用反證法。在命題邏輯推理中,反證法是證明一個公式是某個前提集合的有效結(jié)論的逆否命題。設(shè)A1,A2,…,Am是命題公式,如果A1ùA2ù…ùAm是可滿足的,稱A1,A2,…,Am是相容的。如果A1ùA2ù…

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