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1、截?cái)嗲懈顢?shù)學(xué)建模論文摘要本文討論了將一個(gè)待加工長方體經(jīng)過六次截?cái)嗲懈畛梢粋€(gè)成品長方體的切割方式問題，利用重心偏移法，考慮了第七及第k+1次切割之間的聯(lián)系，建立了動(dòng)態(tài)規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型，并用直接搜索法進(jìn)行了求解。本文接著用此模型對某些部門的切割準(zhǔn)則作了正確的評價(jià)，并給了當(dāng)e=0時(shí)的簡明優(yōu)化準(zhǔn)則，最后用具體實(shí)例驗(yàn)證了模型的可靠性，并對一些初值進(jìn)行了詳細(xì)的討論，給出了所有的最優(yōu)解。本文還對模型進(jìn)行了誤差分析，并對模型進(jìn)行了推廣。關(guān)鍵詞動(dòng)態(tài)規(guī)劃切割方式f-原則一、問題的提出與分析某些工業(yè)部門（如貴重石材加工等）采用截?cái)嗲懈畹募庸し绞?。這里“
2、截?cái)嗲懈睢笔侵笇⑽矬w沿某個(gè)切割平面分成兩部分。從一個(gè)長方體中加工出一個(gè)已知尺寸，位置預(yù)定的長方體（這兩個(gè)長方體的對應(yīng)表面是平行的），通常要經(jīng)過6次截?cái)嗲懈?。設(shè)水平切割單位面積的費(fèi)用是垂直切割單位面積的費(fèi)用的r倍，且當(dāng)先后兩次垂直切割的平面（不管它們之間是否穿插水平切割）不平行時(shí)，因調(diào)整刀具需額外費(fèi)用e。試為這些部門設(shè)計(jì)一種安排各面加工次序（稱“切割方式”）的方法，使加工費(fèi)用最少。并對某部門用的如下準(zhǔn)則作出評論：每次選擇一個(gè)加工費(fèi)用最少的待切割面進(jìn)行切割。該問題可以采用重心偏移法。在切割之前，長方體的重心是確定的，每切割一次它的重
3、心就偏移一次，而且偏移有一定的規(guī)律，它只是沿著長、寬或高的方向偏移。待原長方體加工成成品長方體之后，長方體的重心經(jīng)過六次偏移已與成品長方體的重心重合了。這就是長方體的重心偏移過程。該問題是一個(gè)動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題，是分級決策方法和最佳化原理的綜合應(yīng)用。首先是建立分級決策的模型。用dk表示第k次決策，Jk表示第k級的級收益，現(xiàn)在一定條件下，尋求一組可行決策變量，使問題的總收益J為最佳。二、基本假設(shè)與符號約定（一）基本假設(shè)1．由工藝要求，與水平工作臺(tái)接觸的待加工長方體底面是事先指定的，成品長方體的尺寸已知，位置預(yù)定，且兩個(gè)長方體和對應(yīng)表面是
4、平行的。2．刀具的磨損情況很小，可忽略不計(jì)。3．切割熱量對長方體所產(chǎn)生的影響很小，可忽略不計(jì)。4．我們稱切割后的那些不含成品長方體的小長方體為切塊，考慮切塊的可應(yīng)用性，設(shè)切塊是帶狀切塊。5．在切割過程中，設(shè)刀具對切塊和待切割長方體不產(chǎn)生任何影響。6．設(shè)水平切割單位面積費(fèi)用是垂直切割單位費(fèi)用的r倍。7．設(shè)先后兩次垂直切割的平面不平行時(shí)，不管它們是否穿插水平切割，因調(diào)整刀具所需額外費(fèi)用e。（二）符號約定dk：第k次決策；J：總收益，即總加工費(fèi)用；P：垂直切割單位面積費(fèi)用；r：水平切割單位面積費(fèi)用與垂直切割單位面積費(fèi)用之比；e：調(diào)整刀
5、具所需額外費(fèi)用；δ(k)：第k次切割時(shí)垂直待切割平面在水平面上的投影值；：第k+1次切割后長方體的重心座標(biāo)；tk：第k次決策時(shí)的狀態(tài)；a2,b2,c2：成品長方體的長、寬、高；a1,a3：成品長方體距待加工長方體左側(cè)面和右側(cè)面的距離；b1,b3：成品長方體距待加工長方體正前面和正后面的距離；c1,c3：成品長方體距待加工長方體底面和頂面的距離；：待加工長方體的長、寬、高；n：刀具被調(diào)整的次數(shù)；：定義了一種運(yùn)算法則，即x、y同奇同偶時(shí)表達(dá)式取值為0,x、y奇偶相異時(shí)表達(dá)式取值為1。三、模型的建立（一）確定切割方式的總數(shù)待加工長方體
6、共需截?cái)嗲懈?次，在橫垂直方向、豎垂直方向、水平方向上各兩次，其總的不同切割方式的總數(shù)為=720種。下面證明一個(gè)定理。定理在同一方向上（橫垂直方向、豎垂直方向或水平方向），在總收益最小的條件下，先切割下來的應(yīng)該是切塊厚度較大的那塊長方體。證明如右圖所示，長方體高為h，不妨設(shè)在豎垂直方向先后切割兩次，在橫垂直方向上切割一次，切塊T1，T2的厚度分別為a1和a3，中間那塊包著成品長方體，厚度為a2,,先切T1時(shí)，待切割面積S1=（a2+a3）h,先切T2時(shí)，待切割面積S2=（a1+a2）h>S1.在同種情況下，S2>S1，則切T2比
7、切T1花的費(fèi)用高，不符合總收益最小的原則。所以，在同等情況下應(yīng)切割T1，即先切割厚度較大的那塊長方體。證畢。實(shí)際上，切割六次以后，所有切塊的總體積是一定的，先把體積大的切塊切割下來，后面浪費(fèi)的面積就少一些，費(fèi)用也就小一點(diǎn)，這一點(diǎn)與實(shí)際情況是相符的。因此，在這個(gè)原則下，不同切割方式的總數(shù)為這比原來縮減了87。5%，大大減少了計(jì)算機(jī)的工作量。這條原則我們稱之為f—原則。使總收益達(dá)到最小時(shí)的決策方案總是90種的一種或幾種。（二）模型一首先，建立一個(gè)三維直角坐標(biāo)系，以待加工長方體的正前左下頂點(diǎn)為原點(diǎn)，長方體長、寬、高方向?yàn)閤、y、z軸。
8、上述問題如果用非線性規(guī)劃解，則其模型為：可以看出，它有三個(gè)約束條件，現(xiàn)轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題，則它是三維的。用(1,0,0)表示刀具沿垂直于x軸方向（即豎垂直方向）切割；(0,1,0)表示刀具沿垂直于y軸方向（即橫垂直方向）切割；(0,0,1)表示刀具沿垂直于z軸方
