馬格努斯效應(yīng)和香蕉球

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1、流體力學(xué)論文馬格努斯效應(yīng)和“香蕉球”想象馬格努斯效應(yīng)和“香蕉球”現(xiàn)象陳朝暉劉天然李明杰萬凱王智峰劉俊明摘要：旋轉(zhuǎn)圓柱繞流后會產(chǎn)生升力的現(xiàn)象稱為馬格努斯（Magnus）效應(yīng)，足球比賽中的“香蕉球”現(xiàn)象就可以用這種原理解釋。本文通過流體力學(xué)和理論力學(xué)的相關(guān)知識，討論了在理想情況下足球運動員的出球速度，角度，轉(zhuǎn)速等與球——門的方位關(guān)系間的數(shù)學(xué)表達式。最后討論在實際情況中這個數(shù)學(xué)表達式的具體應(yīng)用。關(guān)鍵詞：　馬格努斯效應(yīng)　　香蕉球　　雷諾數(shù)偏心角出球角上挑角正文：現(xiàn)象的動力學(xué)解釋當(dāng)足球運動員判罰任意球時，射手前面筑起了人墻，大家都很緊張。這時候，射手踢出一個帶有旋轉(zhuǎn)的球，巧妙地繞過人墻，守門員來不及反應(yīng)

2、，足球以刁鉆的角度直接入網(wǎng)。-8-流體力學(xué)論文馬格努斯效應(yīng)和“香蕉球”想象足球在空氣中只受地心吸力的影響，所以應(yīng)該沿拋物線運動。但是，足球卻真的向內(nèi)彎了，代表它受到一個水平方向的力，這個力從何而來呢？（1）（2）圖一：足球在沒有旋轉(zhuǎn)下水平運動的情形(在此圖中球正在向下運動)圖中的線代表的是空氣流動的情形。足球在沒有旋轉(zhuǎn)下水平運動的情形，當(dāng)足球向前運動，空氣就相對于足球向后運動。圖二：足球只有旋轉(zhuǎn)而沒有水平運動的情形足球只有旋轉(zhuǎn)而沒有水平運動的情形，當(dāng)足球轉(zhuǎn)動時，四周的空氣會被足球帶動，形成旋風(fēng)式的流動。（3）圖三：「香蕉球」-足球水平運動和旋轉(zhuǎn)兩種運動同時存在的情形圖三代表水平運動和旋轉(zhuǎn)兩種運

3、動同時存在的情形，也即是“香蕉球”的情形。-8-流體力學(xué)論文馬格努斯效應(yīng)和“香蕉球”想象足球在空中的運動過程，可以視為重力場中質(zhì)量均勻分布的球體在流體（空氣）中的運動過程。一般說來，在流體中運動的物體要受到浮力，升力，阻力，阻力矩等作用。流體具有粘滯性，因此，有阻力施加于物體上。研究表明：低雷諾數(shù)時阻力與速度的一次方成正比，高雷諾數(shù)時阻力與速度的二次方成正比。若足球向前飛行時不產(chǎn)生繞對稱軸的旋轉(zhuǎn)（如圖一所示），則周圍空氣對足球運動的影響只是減慢球的飛行速度，其在空中的運動軌跡為一平面曲線，不會出現(xiàn)"香蕉球"。如果足球在空中運動時，一邊向前飛行，一邊繞對稱軸旋轉(zhuǎn)，則由于足球的旋轉(zhuǎn)和空氣粘性的共同

4、作用，在足球周圍的附面層內(nèi)產(chǎn)生環(huán)流，前方來流和環(huán)流共同作用的結(jié)果，在來流和環(huán)流同方向的一側(cè)，流速加快，在反方向的另一側(cè)，流速減慢。根據(jù)伯努利原理，流速加快的一側(cè)壓力下降，流速減慢的另一側(cè)壓力升高，兩側(cè)的壓力差對足球產(chǎn)生側(cè)向作用力稱為馬格努斯力，方向與足球的瞬時轉(zhuǎn)軸垂直，且與足球的運動方向垂直。因此，若足球右面空氣流動的速度較左面大。根據(jù)流體力學(xué)的伯努利方程，流體速度較大的地方氣壓會較低，因此足球右面的氣壓較左面低，產(chǎn)生了一個向右的力。結(jié)果足球一面向前走，一面承受一個把它推向右的力，使足球運行軌道彎曲。在日常生活中我們也經(jīng)常應(yīng)用這個原理使物體在流體中的運動方向改變，例如飛機和帆船的運動都是基于這

5、個原理。對"香蕉球"現(xiàn)象的定量計算在實際情況中，由于考慮到場地因素，空氣阻力及球轉(zhuǎn)速的變化，我們不可能將實際的情況完全定量計算出來，但我們可以對于一些次要因素簡單化甚至完全忽略，下面我們將在理想情況下對這個過程進行定量計算，然后應(yīng)用所得結(jié)論對實際情況中的現(xiàn)象進行討論分析。我們討論的理想情況：空氣具有粘性，所以球在飛行過程中要受到阻力作用，但由于球的飛行時間很短，所以它的飛行速度變化很小，故考慮足球在飛行過程中水平分速度不改變；為使足球旋轉(zhuǎn)，球員給足球的力的方向不能通過球心，這樣才能讓足球產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)。實際上球的轉(zhuǎn)軸在X-Y-Z方向上都有分量，由于馬格努斯效應(yīng)產(chǎn)生的使足球前沖的力和下墜的力對球速影響

6、很小，所以我們-8-流體力學(xué)論文馬格努斯效應(yīng)和“香蕉球”想象考慮球在豎直方向只受重力的作用，球的轉(zhuǎn)軸只有Z方向，即垂直于地面方向，這樣才會只產(chǎn)生垂直于運動方向的水平升力。球員通過腳背給足球的力實際上是復(fù)雜多變的，在這里我們把這個力理想成作用在一個點上的均勻力，它可以分解為使球向上和向前的沖力和使球旋轉(zhuǎn)的切向力。在上述假設(shè)的基礎(chǔ)上，我們可以設(shè)出球員出球時的幾個變量：（力的方向與作用點和球心連線的夾角）即出球角（球的初速度在水平方向的投影與L的夾角）（球的初速度與地面的夾角）幾個不變量分別為：足球的水平切向力為，上挑力為-8-流體力學(xué)論文馬格努斯效應(yīng)和“香蕉球”想象水平切向力所產(chǎn)生的水平旋轉(zhuǎn)，根據(jù)

7、動量矩定理有將足球看成是均勻的球殼，則它的轉(zhuǎn)動慣量為可得球的轉(zhuǎn)動角速度為因為我們只考慮球在z軸方向的角速度，故①根據(jù)動量定理，球的初速度為則球的水平初速度為，豎直初速度為由于我們已經(jīng)假設(shè)足球在飛行過程中水平分速度不改變，也就是說在球的飛行軌跡上切向速度始終為V1。由于豎直方向上只考慮重力作用，所以球的飛行時間也就確定了，即②如果足球自轉(zhuǎn)的表面線速度在足球前進方向上的有效值為,證明如下:(-8-流體