一輪復(fù)習(xí)配套義：第5篇第1講數(shù)列的概念與簡單表示法

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1、第1講　數(shù)列的概念與簡單表示法[最新考綱]1．了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式)．2．了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù).知識(shí)梳理1．?dāng)?shù)列的概念(1)數(shù)列的定義按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列．?dāng)?shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)．排在第一位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)，通常也叫做首項(xiàng)．(2)數(shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．(3)數(shù)列的前n項(xiàng)和在數(shù)列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做數(shù)列的前n項(xiàng)和．2．?dāng)?shù)列的表示方法(1)表示方法列表法列表格表達(dá)n與f(n)的對(duì)

2、應(yīng)關(guān)系圖象法把點(diǎn)(n，f(n))畫在平面直角坐標(biāo)系中公式法通項(xiàng)公式把數(shù)列的通項(xiàng)使用通項(xiàng)公式表達(dá)的方法遞推公式使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表達(dá)數(shù)列的方法(2)數(shù)列的函數(shù)特征：上面數(shù)列的三種表示方法也是函數(shù)的表示方法，數(shù)列可以看作是定義域?yàn)檎麛?shù)集(或它的有限子集{1,2，…，n}的函數(shù)an＝f(n))當(dāng)自變量由小到大依次取值時(shí)所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值．*3．?dāng)?shù)列的分類分類原則類型滿足條件按項(xiàng)數(shù)分類有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限無窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無限單調(diào)性遞增數(shù)列an＋1＞an其中n∈N*遞減數(shù)列an＋1＜an常數(shù)列an＋1＝an擺動(dòng)數(shù)列從第

3、二項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列周期性?n∈N*，存在正整數(shù)常數(shù)k，an＋k＝an4.an與Sn的關(guān)系若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則an＝辨析感悟1．對(duì)數(shù)列概念的認(rèn)識(shí)(1)數(shù)列1,2,3,4,5,6與數(shù)列6,5,4,3,2,1表示同一數(shù)列．(×)(2)1,1,1,1，…不能構(gòu)成一個(gè)數(shù)列．(×)2．對(duì)數(shù)列的性質(zhì)及表示法的理解(3)(教材練習(xí)改編)數(shù)列1,0,1,0,1,0，…的通項(xiàng)公式，只能是an＝.(×)(4)任何一個(gè)數(shù)列不是遞增數(shù)列，就是遞減數(shù)列．(×)(5)(2013·開封模擬改編)已知Sn＝3n＋1，則an＝2·3n－1.(×)[感

4、悟·提升]1．一個(gè)區(qū)別　“數(shù)列”與“數(shù)集”數(shù)列與數(shù)集都是具有某種屬性的數(shù)的全體，數(shù)列中的數(shù)是有序的，而數(shù)集中的元素是無序的，同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn)，而數(shù)集中的元素是互異的，如(1)、(2)．2．三個(gè)防范　一是注意數(shù)列不僅有遞增、遞減數(shù)列，還有常數(shù)列、擺動(dòng)數(shù)列，如(4)．二是數(shù)列的通項(xiàng)公式不唯一，如(3)中還可以表示為an＝三是已知Sn求an時(shí)，一定要驗(yàn)證n＝1的特殊情形，如(5).學(xué)生用書第79頁考點(diǎn)一　由數(shù)列的前幾項(xiàng)求數(shù)列的通項(xiàng)【例1】根據(jù)下面各數(shù)列前幾項(xiàng)的值，寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：(1)－1,7，－13,19，…；(2)，，，，，…；(3)，2，，8，

5、，…；(4)5,55,555,5555，….解　(1)偶數(shù)項(xiàng)為正，奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，故通項(xiàng)公式必含有因式(－1)n，觀察各項(xiàng)的絕對(duì)值，后一項(xiàng)的絕對(duì)值總比它前一項(xiàng)的絕對(duì)值大6，故數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝(－1)n(6n－5)．(2)這是一個(gè)分?jǐn)?shù)數(shù)列，其分子構(gòu)成偶數(shù)數(shù)列，而分母可分解為1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，每一項(xiàng)都是兩個(gè)相鄰奇數(shù)的乘積．知所求數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝.(3)數(shù)列的各項(xiàng)，有的是分?jǐn)?shù)，有的是整數(shù)，可將數(shù)列的各項(xiàng)都統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)再觀察．即，，，，，…，從而可得數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝.(4)將原數(shù)列改寫為×9，×99，×999，…，易知數(shù)列

6、9,99,999，…的通項(xiàng)為10n－1，故所求的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝(10n－1)．規(guī)律方法根據(jù)所給數(shù)列的前幾項(xiàng)求其通項(xiàng)時(shí)，需仔細(xì)觀察分析，抓住其幾方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相鄰項(xiàng)的變化特征；拆項(xiàng)后的各部分特征；符號(hào)特征．應(yīng)多進(jìn)行對(duì)比、分析，從整體到局部多角度觀察、歸納、聯(lián)想．【訓(xùn)練1】根據(jù)下面數(shù)列的前幾項(xiàng)的值，寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：(1)，，－，，－，，…；(2)，1，，，….解　(1)各項(xiàng)的分母分別為21,22,23,24，…，易看出第2,3,4項(xiàng)的分子分別比分母少3.因此把第1項(xiàng)變?yōu)椋?，原?shù)列可化為－，，－，，…，因此可得數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公

7、式為an＝(－1)n·.(2)將數(shù)列統(tǒng)一為，，，，…，對(duì)于分子3,5,7,9，…，是序號(hào)的2倍加1，可得分子的通項(xiàng)公式為bn＝2n＋1，對(duì)于分母2,5,10,17，…，聯(lián)想到數(shù)列1,4,9,16，…，即數(shù)列{n2}，可得分母的通項(xiàng)公式為cn＝n2＋1，因此可得數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝.考點(diǎn)二　由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)an【例2】(2013·廣東卷節(jié)選)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知a1＝1，＝an＋1－n2－n－，n∈N*.(1)求a2的值；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．解　(1)依題意，2S1＝a2－－1－，又S1＝a1＝1，所以a2＝4；(2)由題