利用相關(guān)點(diǎn)法巧解對(duì)稱問題

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1、利用相關(guān)點(diǎn)法巧解對(duì)稱問題尤新建對(duì)稱問題在高考試題中經(jīng)常出現(xiàn)，常見的有中心和軸對(duì)稱兩種。盡管試題年年翻新，情境不斷變化，甚至不落俗套，但經(jīng)研究可以發(fā)現(xiàn)，其解法的普遍規(guī)律還是可以歸納總結(jié)的。筆者認(rèn)為，圖象對(duì)稱的原始基礎(chǔ)是圖象上點(diǎn)與點(diǎn)之間的對(duì)稱，因此，抓住對(duì)稱點(diǎn)之間的數(shù)量關(guān)系及其內(nèi)在聯(lián)系，可將幾何對(duì)稱語言轉(zhuǎn)化為代數(shù)坐標(biāo)、方程語言。代數(shù)化地展開研究是解決對(duì)稱問題的有效方法，亦簡(jiǎn)稱相關(guān)點(diǎn)法。下面通過一些實(shí)例加以說明。一.函數(shù)中的對(duì)稱問題例1（2001年高考）設(shè)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱。證明是周期函數(shù)。證明：設(shè)（x，y）為圖象

2、上任意一點(diǎn)，則其關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)可求得：，于是根據(jù)函數(shù)關(guān)系有：，又因?yàn)槭嵌x在R上的偶函數(shù)，故有：，因此結(jié)合上式有：，故由知：是周期函數(shù)，。例2（1997年高考文）設(shè)是定義在R上的函數(shù)，則函數(shù)與的圖象關(guān)于（）A.直線對(duì)稱B.直線對(duì)稱C.直線對(duì)稱D.直線對(duì)稱解：可設(shè)（x1，y）為上任意一點(diǎn)，則有；若（x2，y）為上一點(diǎn)，也有，一般地，由可知：，所以，即（x1，y）與（x2，y）關(guān)于直線對(duì)稱，故選（D）。評(píng)注：例1是一個(gè)函數(shù)圖象本身內(nèi)在對(duì)稱問題，例2是兩個(gè)函數(shù)圖象之間的對(duì)稱問題，盡管問題情境不同，但解法有相通之處，均可抓住對(duì)稱點(diǎn)（即相關(guān)點(diǎn)

3、）加以討論。二.三角函數(shù)中的對(duì)稱問題例3（2003年高考江蘇卷）已知函數(shù)是R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，求的值。解：由是偶函數(shù)，得即所以對(duì)任意x都成立，且，所以得依題設(shè)，所以解得，這時(shí)由的圖象關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，可設(shè)P（x，y）是其圖象上任意一點(diǎn)，P點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)可求得為：即有，（*）取x＝0，得，所以，所以所以當(dāng)時(shí)，上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，上不是單調(diào)函數(shù)；所以，綜合得評(píng)注：本題是三角函數(shù)中含有中心對(duì)稱問題，抓住對(duì)稱點(diǎn)之間的中心對(duì)稱關(guān)系，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出對(duì)稱點(diǎn)（或稱相關(guān)點(diǎn)），尋求兩相關(guān)點(diǎn)（對(duì)稱點(diǎn)

4、）之間的函數(shù)等量關(guān)系（見*）是解決問題的關(guān)鍵。三.解析幾何中的對(duì)稱問題例4（1998年高考理）設(shè)曲線C的方程是，將C沿x軸、y軸正向分別平行移動(dòng)t、s單位長(zhǎng)度后得曲線C1（I）寫出曲線C1的方程；（II）證明曲線C與C1關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；（I）解：曲線C1的方程為：（II）證明：在曲線C上任取一點(diǎn)B1（x1，y1）。設(shè)B2（x2，y2）是B1關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)，則有：所以代入曲線C的方程，得x2和y2滿足方程：可知點(diǎn)在曲線C1上反過來，同樣可以證明，在曲線C1上的點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)在曲線C上。因此，曲線C與C1關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱。例5（1997

5、年高考文）橢圓C與橢圓C1：關(guān)于直線對(duì)稱，橢圓C的方程是（）A.B.C.D.解：設(shè)（x，y）是橢圓C上任意一點(diǎn)，則其關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)可求得為，該點(diǎn)在橢圓C1上，故其坐標(biāo)適合橢圓C1的方程，將其代入有：，化簡(jiǎn)后知選A。從以上幾個(gè)方面的研究可以發(fā)現(xiàn)，相關(guān)點(diǎn)法是解決數(shù)學(xué)對(duì)稱問題的有效方法，因?yàn)樗プ×藞D象對(duì)稱的基本元素（即圖象上點(diǎn)與點(diǎn)之間的一一對(duì)應(yīng)的對(duì)稱關(guān)系）和核心，并且將幾何問題代數(shù)化的基本數(shù)學(xué)思想得到很好地體現(xiàn)運(yùn)用。此外，相關(guān)點(diǎn)法在解決幾何中才被得以提出并加以運(yùn)用于解決對(duì)稱問題，這一點(diǎn)從例4，例5可以感覺到，實(shí)際上，函數(shù)及三角函數(shù)中

6、的對(duì)稱與解析幾何中的對(duì)稱是相通的，因此，相關(guān)點(diǎn)法完全可以加以推廣，實(shí)行方法共享。哈爾濱師范大學(xué)（150080）