《利用相關(guān)點(diǎn)法巧解對稱問題》

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1、利用相關(guān)點(diǎn)法巧解對稱問題對稱問題在高考試題中經(jīng)常出現(xiàn)，常見的有中心和軸對稱兩種。盡管試題年年翻新，情境不斷變化，甚至不落俗套，但經(jīng)研究可以發(fā)現(xiàn)，其解法的普遍規(guī)律還是可以歸納總結(jié)的。筆者認(rèn)為，圖象對稱的原始基礎(chǔ)是圖象上點(diǎn)與點(diǎn)之間的對稱，因此，抓住對稱點(diǎn)之間的數(shù)量關(guān)系及其內(nèi)在聯(lián)系，可將幾何對稱語言轉(zhuǎn)化為代數(shù)坐標(biāo)、方程語言。代數(shù)化地展開研究是解決對稱問題的有效方法，亦簡稱相關(guān)點(diǎn)法。下面通過一些實(shí)例加以說明。一.函數(shù)中的對稱問題例1設(shè)y=fM是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線兀=1對稱。證明)y/(朗是周期函數(shù)。證明：設(shè)(x,y)為y=/(x)圖彖

2、上任意一點(diǎn)，則其關(guān)于x=l的對稱點(diǎn)可求得：(2-兀,刃，于是根據(jù)函數(shù)關(guān)系有:y=f(x)=f(2-x),又因?yàn)閥=/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，故有：/(x)=/(-x),因此結(jié)合上式有：f(x)-/(-x)=f(2-x),故由f(-x)=f(-x+2)知:y=f(x)是周期函數(shù)，T=2O例2設(shè)y=f(x)是定義在R上的函數(shù)，則函數(shù)y=f(x-l)與/=/(I-兀)的圖象關(guān)于()A.直線y=0對稱B.直線兀=0對稱C.直線y=l對稱D.直線兀=1對稱解：可設(shè)(X],y)為y=/?(兀一1)上任意一點(diǎn)，則有y=/(^-1)；若(X2，y)為y=

3、/(1-兀)上一點(diǎn)，也有y=/(1-兀2)，—般地，由f(xl-1)=/(I-x2)nJ知：兀

4、一1=1一兀2，所以、*，=]，即(xi，y)與(X2,y)關(guān)于直線x=l對稱，故選(D)。評注：例1是一個函數(shù)圖象本身內(nèi)在對稱問題，例2是兩個函數(shù)圖象之間的對稱問題，盡管問題情境不同，但解法有相通Z處，均可抓住對稱點(diǎn)(即相關(guān)點(diǎn))加以討論。一.三角函數(shù)中的對稱問題例3已知函數(shù)/(兀)=sin(型+0)(0>0,0505龍)是R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)m(￥，o)對稱，且在區(qū)間0,彳上是單調(diào)函數(shù)，求卩和血的值。解：由/(力是偶函數(shù)，得/(-%)=f(

5、x)即sin(-妙+0)=sin(6tir+(p)所以一cos0sin妙=cos^sinmv對任意x都成立，且e>0,所以得cos。=0依題設(shè)05°5龍，所以解得(p=—,這時/(x)=sin(dA+—)22由y=fM的圖象關(guān)于點(diǎn)M對稱，可設(shè)P(x,y)是其圖象上任意一點(diǎn)，P點(diǎn)關(guān)于M(—,0)的對稱點(diǎn)可求得為：(耳-兀-刃2即有y=fM=一f(乎一x)，(*)取x=0,得/(0)=-/(—),所以，sin-=-sin(—6y+-)=l所以W"一2所以69=—(2k—1),k=1,2,3…當(dāng)比=1時,血=呂J(兀)=sin(呂兀+彳)在0,y上

6、是減函數(shù);332_2_JTJT當(dāng)k=2時，6y=2,/(%)=sin(2x+-)在0,-上是減函數(shù)；當(dāng)k>2H'j",69>—,/(x)=sin(7zzr+—)在0,—上不是單調(diào)函數(shù);3222所以，綜合得3=*或0=23評注：本題是三角函數(shù)中含有中心對稱問題，抓住對稱點(diǎn)之間的中心對稱關(guān)系，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出對稱點(diǎn)（或稱相關(guān)點(diǎn)），尋求兩相關(guān)點(diǎn)（對稱點(diǎn)）之間的函數(shù)等量關(guān)系（見*）是解決問題的關(guān)鍵。一.解析幾何中的對稱問題例4設(shè)曲線C的方程是）‘=兀3_廠將c沿x軸、y軸正向分別平行移動（、s單位長度后得曲線G（I）寫出曲線G的方程；（II）證明

7、曲線C與Ci關(guān)于A（-,-）點(diǎn)對稱；（I）解：曲線C］的方程為：y-（兀_（）3-（%-/）+5（II）證明：在曲線C上任取一點(diǎn)B

8、（xi，yi）o設(shè)B2（x2,y2）是B

9、關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)，則有：x{+x2=ty{+y2=s~~2~2_2所以%）=t-x2,yi=$-y2代入曲線C的方程，得X2和y2滿足方程：s—y2=a_兀2）'_a_兀2）即％—（兀2——（兀2—『）+$可知點(diǎn)場（七，兒）在曲線Cl上反過來，同樣可以證明，在曲線Cl上的點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)在曲線C上。因此，曲線C與C關(guān)于點(diǎn)A對稱。例5橢圓C與橢圓G：呼+嚀1“關(guān)于直線心=

10、。對稱，橢圓C的方程是（）a.B.(—2)2

11、0-3)294(x+2)2I(y+3)294D.(—2)2

12、()-3)24929解：設(shè)（x,y）是橢圓C上任意一點(diǎn)，則其關(guān)于直線x+y=O的對稱點(diǎn)可求得為（-”-力，該點(diǎn)在橢圓G上，故其坐標(biāo)適合橢圓G的方程，將其代入有:（-y-3）2+（-x-2）2化簡后知選a。94從以上幾個方面的研究可以發(fā)現(xiàn)，相關(guān)點(diǎn)法是解決數(shù)學(xué)對稱問題的有效方法，因?yàn)樗プ×藞D象對稱的基本元素（即圖象上點(diǎn)與點(diǎn)之間的一一對應(yīng)的對稱關(guān)系）和核心，并且將兒何問題代數(shù)化的基本數(shù)學(xué)思想得到很好地體現(xiàn)運(yùn)用。此外，相關(guān)點(diǎn)法在解決兒何中才被得

13、以提出并加以運(yùn)用于解決對稱問題，這一點(diǎn)從例4,例5可以感覺到，實(shí)際上，函數(shù)及三角函數(shù)中的對稱與解析幾何中的對稱是相通的，因此，相關(guān)點(diǎn)法完全可以加以推廣，實(shí)行方法共享