2.3離散型隨機(jī)變量的均值

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1、公開課教案:2.3離散型隨機(jī)變量的均值授課老師:劉曉敏2010-6-4教學(xué)目標(biāo):了解加權(quán)平均的意義,學(xué)會(huì)根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列計(jì)算均值;理解離散型隨機(jī)變量的均值含義;熟練掌握兩點(diǎn)分布和二項(xiàng)分布中隨機(jī)變量的均值計(jì)算。難點(diǎn):了解隨機(jī)變量均值的含義;二項(xiàng)分布隨機(jī)變量均值公式的推導(dǎo)。教學(xué)導(dǎo)圖:離散型隨機(jī)變量均值的定義兩點(diǎn)分布的隨機(jī)變量均值的計(jì)算二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量均值的計(jì)算正確理解均值的含義加權(quán)平均數(shù)的介紹教學(xué)設(shè)計(jì):一:引入問題1:如果你期中考試各門成績(jī)?yōu)椋?0、80、77、68、85、91;那你的平均成績(jī)是多少?學(xué)生答:(90+80+77+68+85+91)÷

2、6=81.8教師:得數(shù)是各門學(xué)科的平均數(shù),各門學(xué)科的成績(jī)?cè)谄骄鶖?shù)中所占的比重均等,所以也可以看成:?jiǎn)栴}2:你的期中數(shù)學(xué)考試成績(jī)?yōu)?0,平時(shí)表現(xiàn)成績(jī)?yōu)?0,學(xué)校規(guī)定:在你學(xué)分記錄表中,該學(xué)期的數(shù)學(xué)成績(jī)中考試成績(jī)占70%、平時(shí)成績(jī)占30%,你最終的數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)槎嗌??學(xué)生答:70×70%+60×30%=67教師:67這個(gè)得數(shù)也是一種平均數(shù),只是在計(jì)算平均數(shù)時(shí),我們根據(jù)每個(gè)數(shù)據(jù)所占的比重不同在它的前面所乘的系數(shù)也不同,這樣得到的平均數(shù)我們叫做加權(quán)平均數(shù)。即:教師:權(quán):稱棰,權(quán)衡輕重的數(shù)值;加權(quán)平均:計(jì)算若干數(shù)量的平均數(shù)時(shí),考慮到每個(gè)數(shù)量在總量中所具有的重要性不同,分

3、別給予不同的權(quán)數(shù)。練習(xí):某商場(chǎng)要將單價(jià)分別為18元/kg、24元/kg、36元/kg的3種糖果按3:2:1的比例混合銷售,如何對(duì)混合糖果定價(jià)才合理?學(xué)生答:二:新課問題3你能解釋該問題中每個(gè)權(quán)數(shù)所代表的實(shí)際含義嗎?討論:表示各種糖果在混和時(shí)所占的比例;教師:如果我們把混合糖果攪拌充分均勻,那么我們從中任取1kg的糖果,其中各種糖果所占的比例應(yīng)該約為各個(gè)權(quán)數(shù);如果我們?nèi)稳∫粋€(gè)糖果,這時(shí)各個(gè)權(quán)數(shù)對(duì)于這個(gè)樣本糖果而言含義是什么?學(xué)生答:它是各個(gè)價(jià)位糖果的可能性。教師:也就是說這個(gè)糖果是18元/kg的概率為,為24元/kg的概率為,為36元/kg的概率為,那我們這

4、時(shí)就可以換個(gè)角度:設(shè)混合糖果中各糖果的單價(jià)為隨機(jī)變量X,那么X的取值可能是:18、24、36;取到各個(gè)值的概率分別為:、、;相當(dāng)于知道了該離散型隨機(jī)變量X的分布列:X182436P那么我們所得到的合理價(jià)格應(yīng)該就是X取值的一個(gè)加權(quán)平均數(shù)。即:合理價(jià)格=18×+24×+36×=18×P(X=18)+24×P(X=24)+36×P(X=36)問題4:如果你知道了一個(gè)離散型隨機(jī)變量的分布列:XX1X2x3PP1P2P3該隨機(jī)變量的平均取值應(yīng)該怎樣計(jì)算?學(xué)生答:x1p1+x2p2+…+xnpn教師:我們稱上式計(jì)算所得的加權(quán)平均數(shù)叫做離散型隨機(jī)變量X的均值或者數(shù)學(xué)期望

5、,記為:EX=x1p1+x2p2+…+xnpn它反映了X取值的平均水平。注意:該平均數(shù)與以往的平均數(shù)有哪里不同?它是加權(quán)平均。根據(jù)什么來確定權(quán)數(shù)?所取值的概率。三:例題例1:在籃球比賽中,如果某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.7,那么他罰球一次得分設(shè)為X,X的均值是多少?解:根據(jù)已知我們可以得到該隨機(jī)變量X的分布列:X01p0.30.7因此EX=1×P(X=1)+0×P(X=0)=0.7分析:該隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布,對(duì)于任意一個(gè)滿足兩點(diǎn)分布的隨機(jī)變量X來說,它的均值計(jì)算如下:X10pp1-pEX=p例2:某射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列如下:ξ45678910P0

6、.020.040.060.090.280.290.22求n次射擊的平均環(huán)數(shù)。解:Eξ=4×0.02+5×0.04+6×0.06+7×0.09+8×0.28+9×0.29+10×0.22=8.12答:n次射擊的平均環(huán)數(shù)為8.12。變更:如果這次射擊的環(huán)數(shù)與獎(jiǎng)金掛鉤,獎(jiǎng)金變量η與射擊環(huán)數(shù)ξ的關(guān)系如下:η=2ξ+1則問:獎(jiǎng)金變量η的均值為多少?解法1:由ξ的分布列和η和ξ的關(guān)系,可以將η的分布列寫出:ξ45678910η9111315171921P0.020.040.060.090.280.290.22所以Eη=17.24分析:能不能根據(jù)Eξ直接求Eη?(推導(dǎo)公

7、式略)因此:已知兩個(gè)離散型隨機(jī)變量X、Y,Y=aX+b,則:EY=aEX+b解法2:因?yàn)棣?2ξ+1,所以Eη=2Eξ+1=2×8.12+1=17.24變更:如果我們只關(guān)心他是否打中10環(huán),因此設(shè)5次射擊中打中10環(huán)的次數(shù)為變量X,則如何求X的均值?解法1:每次射擊時(shí)打中10環(huán)的概率均等為0.22,因此X的分布列如下:X012345PEX=……分析:結(jié)算量很大,該隨機(jī)變量X滿足什么分布?二項(xiàng)分布。二項(xiàng)分布是我們很熟悉、很常見的分布,如果每次碰到這種分布都要進(jìn)行計(jì)算量如此繁瑣的步驟是我們最不愿看到的,能不能像兩點(diǎn)分布那樣總結(jié)出某種計(jì)算的規(guī)律呢?(分析推導(dǎo)步驟

8、略)因此:對(duì)于一般的二項(xiàng)分布X~B(n,p),EX=np解法2:根

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