模糊聚類分析方法

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1、第二節(jié)模糊聚類分析方法在科學(xué)技術(shù)、經(jīng)濟(jì)管理中常常要按一定的標(biāo)準(zhǔn)（相似程度或親疏關(guān)系）進(jìn)行分類。例如，根據(jù)生物的某些性狀可對生物分類，根據(jù)土壤的性質(zhì)可對土壤分類等。對所研究的事物按一定標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類的數(shù)學(xué)方法稱為聚類分析，它是多元統(tǒng)計(jì)“物以類聚”的一種分類方法。由于科學(xué)技術(shù)、經(jīng)濟(jì)管理中的分類界限往往不分明，因此采用模糊聚類方法通常比較符合實(shí)際。一、模糊聚類分析的一般步驟1、第一步：數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化[9]（1）數(shù)據(jù)矩陣設(shè)論域?yàn)楸环诸悓ο?，每個(gè)對象又有個(gè)指標(biāo)表示其性狀，即，于是，得到原始數(shù)據(jù)矩陣為。其中表示第個(gè)分類對象的第個(gè)指標(biāo)的原始

2、數(shù)據(jù)。（2）數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化在實(shí)際問題中，不同的數(shù)據(jù)一般有不同的量綱，為了使不同的量綱也能進(jìn)行比較，通常需要對數(shù)據(jù)做適當(dāng)?shù)淖儞Q。但是，即使這樣，得到的數(shù)據(jù)也不一定在區(qū)間上。因此，這里說的數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化，就是要根據(jù)模糊矩陣的要求，將數(shù)據(jù)壓縮到區(qū)間上。通常有以下幾種變換：①平移·標(biāo)準(zhǔn)差變換其中，。經(jīng)過變換后，每個(gè)變量的均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1，且消除了量綱的影響。但是，再用得到的還不一定在區(qū)間上。②平移·極差變換，顯然有，而且也消除了量綱的影響。③對數(shù)變換取對數(shù)以縮小變量間的數(shù)量級。2、第二步：標(biāo)定（建立模糊相似矩陣）設(shè)論域，，依照傳統(tǒng)聚

3、類方法確定相似系數(shù)，建立模糊相似矩陣，與的相似程度。確定的方法主要借用傳統(tǒng)聚類的相似系數(shù)法、距離法以及其他方法。具體用什么方法，可根據(jù)問題的性質(zhì)，選取下列公式之一計(jì)算。（1）相似系數(shù)法①夾角余弦法。②最大最小法。③算術(shù)平均最小法。④幾何平均最小法。以上3種方法中要求，否則也要做適當(dāng)變換。⑤數(shù)量積法，其中。⑥相關(guān)系數(shù)法，其中，。⑦指數(shù)相似系數(shù)法，其中，而。（2）距離法①直接距離法，其中為適當(dāng)選取的參數(shù)，使得，表示他們之間的距離。經(jīng)常用的距離有●海明距離?！駳W幾里得距離?！袂斜妊┓蚓嚯x。②倒數(shù)距離法。其中為適當(dāng)選取的參數(shù)，使

4、得。③指數(shù)距離法。3、第三步：聚類（求動(dòng)態(tài)聚類圖）（1）基于模糊等價(jià)矩陣聚類方法①傳遞閉包法根據(jù)標(biāo)定所得的模糊矩陣還要將其改造稱模糊等價(jià)矩陣。用二次方法求的傳遞閉包，即=。再讓由大變小，就可形成動(dòng)態(tài)聚類圖。②布爾矩陣法[10]布爾矩陣法的理論依據(jù)是下面的定理：定理2.2.1設(shè)是上的一個(gè)相似的布爾矩陣，則具有傳遞性（當(dāng)是等價(jià)布爾矩陣時(shí)）矩陣在任一排列下的矩陣都沒有形如的特殊子矩陣。布爾矩陣法的具體步驟如下：①求模糊相似矩陣的截矩陣.②若按定理2.2.1判定為等價(jià)的，則由可得在水平上的分類，若判定為不等價(jià)，則在某一排列下有上

5、述形式的特殊子矩陣，此時(shí)只要將其中特殊子矩陣的0一律改成1直到不再產(chǎn)生上述形式的子矩陣即可。如此得到的為等價(jià)矩陣。因此，由可得水平上的分類（2）直接聚類法所謂直接聚類法，是指在建立模糊相似矩陣之后，不去求傳遞閉包，也不用布爾矩陣法，而是直接從模糊相似矩陣出發(fā)求得聚類圖。其步驟如下：①?。ㄗ畲笾担?，對每個(gè)作相似類，且=，即將滿足的與放在一類，構(gòu)成相似類。相似類與等價(jià)類的不同之處是，不同的相似類可能有公共元素，即可出現(xiàn),,.此時(shí)只要將有公共元素的相似類合并，即可得水平上的等價(jià)分類。②取為次大值，從中直接找出相似度為的元素對（

6、即），將對應(yīng)于的等價(jià)分類中所在的類與所在的類合并，將所有的這些情況合并后，即得到對應(yīng)于的等價(jià)分類。③取為第三大值，從中直接找出相似度為的元素對（即），將對應(yīng)于的等價(jià)分類中所在的類與所在的類合并，將所有的這些情況合并后，即得到對應(yīng)于的等價(jià)分類。④以此類推，直到合并到成為一類為止。二、最佳閾值的確定在模糊聚類分析中對于各個(gè)不同的，可得到不同的分類，許多實(shí)際問題需要選擇某個(gè)閾值，確定樣本的一個(gè)具體分類，這就提出了如何確定閾值的問題。一般有以下兩個(gè)方法：①按實(shí)際需要，在動(dòng)態(tài)聚類圖中，調(diào)整的值以得到適當(dāng)?shù)姆诸?，而不需要事先?zhǔn)確地估

7、計(jì)好樣本應(yīng)分成幾類。當(dāng)然，也可由具有豐富經(jīng)驗(yàn)的專家結(jié)合專業(yè)知識(shí)確定閾值，從而得出在水平上的等價(jià)分類②用F統(tǒng)計(jì)量確定最佳值。[11]設(shè)論域?yàn)闃颖究臻g（樣本總數(shù)為），而每個(gè)樣本有個(gè)特征：，。于是得到原始數(shù)據(jù)矩陣，如下表所示，其中，稱為總體樣本的中心向量。樣本指標(biāo)12km設(shè)對應(yīng)于值的分類數(shù)為，第類的樣本數(shù)為，第類的樣本記為：，第類的聚類中心為向量，其中為第個(gè)特征的平均值，即，，作統(tǒng)計(jì)量，其中為與間的距離，為第類中第個(gè)樣本與其中心間的距離。稱為統(tǒng)計(jì)量，它是遵從自由度為，的分布。它的分子表征類與類之間的距離，分母表征類內(nèi)樣本間的距

8、離。因此，值越大，說明類與類之間的距離越大;類與類間的差異越大，分類就越好?；谀：垲惙治龅亩鄬傩詻Q策方法的實(shí)際應(yīng)用聚類分析是將事物根據(jù)一定的特征，并按某種特定要求或規(guī)律分類的方法。由于聚類分析的對象必定是尚未分類的群體，而且現(xiàn)實(shí)的分類問題往往帶有模糊性，對帶有模糊特征的事物進(jìn)行聚類分析，分類過程中不是僅僅考慮事物