第二章第十二節(jié)曲面上的杜邦指標(biāo)線、曲率線

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1、第二章曲面論第十一節(jié)曲面上的曲線七、曲面上的主方向、主曲率和曲率線法曲率的最大值和最小值所滿足的方程為，（2）其判別式為，故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，判別式為零，即，（3）滿足（3）式的點(diǎn)稱為臍點(diǎn),24否則稱為非臍點(diǎn).所以在一個(gè)非臍點(diǎn),判別式，方程(2)總有兩個(gè)不相等的實(shí)根,曲面在這一點(diǎn)總有兩個(gè)不相等的法曲率，且分別是法曲率的最大值和最小值。法曲率取到的極值稱為主曲率.。在臍點(diǎn),若令，則任意方向的法曲率常數(shù)，都為主曲率，而方程(2)變?yōu)?，但這個(gè)關(guān)系無非表示任意方向的法曲率相等.對(duì)于的臍點(diǎn)，稱為平點(diǎn)。我們把不同時(shí)為零的臍點(diǎn)稱為圓點(diǎn)。容易證明球面上的每一點(diǎn)都是圓點(diǎn)。24將代入方程(2)式，

2、得到，經(jīng)過計(jì)算，此方程可化為，事實(shí)上，利用待定系數(shù)法，經(jīng)計(jì)算可知，，，于是有。故得使法曲率取到最值的方向?yàn)?，此式還能寫成如下形式：。將代入，則有24，，（4）這給出曲面上的兩族曲線，曲線上的方向使法曲率達(dá)到最值。再給出另一種推演方法如下在法曲率取到極值的方向處，有，，，化簡(jiǎn)后，得到，（3）此式還能寫成如下形式：。其判別式為24所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，判別式為零，即。所以在一個(gè)非臍點(diǎn),判別式，方程(3)總有兩個(gè)不相等的實(shí)根,曲面在這一點(diǎn)總有兩個(gè)不相同的方向，法曲率在這兩個(gè)方向分別達(dá)到最大值和最小值。曲面上使法曲率達(dá)到極值的切方向，稱為主方向。曲面上一條曲線，如果曲線在每點(diǎn)處的切方向

3、都是曲面的主方向,則稱此曲線為曲面上的一條曲率線.在臍點(diǎn)處,方程(5.9)變成恒等式,即任意方向都為主方向.24將代入，則有，，（4）這方程確定了曲面上兩族曲率線，組成曲面上的曲率線網(wǎng)。定理5.2曲面在非臍點(diǎn)處,兩個(gè)主方向互相垂直.要證明這個(gè)定理,只要應(yīng)用以下引理于方程(4).引理5.3曲面上一點(diǎn)由方程所確定的兩個(gè)切方向互相垂直的充要條件是，,這里是曲面的第一類基本量.證明兩個(gè)方向（）和（）24正交的充要條件是換一種寫法即，（5）將已知的二次方程寫成，則它的兩個(gè)根，記為，均應(yīng)滿足上述方程,由根與系數(shù)的關(guān)系知,，將上式代入(5)式，即得引理.對(duì)方程（4），有，所以曲面在非臍

4、點(diǎn)處,兩個(gè)主方向互相垂直.【注1】定理5.2只說明在非臍點(diǎn)處,24兩個(gè)主方向垂直,但任意兩個(gè)垂直的方向卻不是主方向.另一方面,在臍點(diǎn)處,任意方向都是主方向,因此主方向未必垂直,而任意兩個(gè)垂直的方向都是主方向.共軛方向定義　　設(shè)A為階實(shí)對(duì)稱矩陣，如果有兩個(gè)維向量和，（寫成列向量），滿足　　，（1）則稱向量與對(duì)于矩陣A共軛。如果A為單位矩陣，則式(1)即成為，這樣兩個(gè)向量的點(diǎn)積（或稱內(nèi)積24）為零，此二向量在幾何上是正交的，它是共軛的一種特例?！　≡O(shè)A為對(duì)稱矩陣，若一組非零向量，滿足　?。╥≠j）（2）則稱向量系為關(guān)于矩陣A共軛。共扼向量的方向稱為共軛方向。幾何意義設(shè)為二階對(duì)

5、稱矩陣，，方程為以原點(diǎn)為中心的平面二次曲線。連結(jié)曲線上任意兩點(diǎn)的線段叫作弦；過中心的弦稱為直徑。平行于一條直徑的弦的中心的軌跡，亦構(gòu)成直徑，稱與互為24共軛直徑，兩直徑分別所在的兩直線的方向，稱為曲線的共軛方向。設(shè)是一條直徑所在的直線的方程，是直線的方向；是平行于直徑的弦所在的直線的方程，是曲線上的點(diǎn)，則此弦與曲線的交點(diǎn)，滿足，，，共軛直徑的方向，將代入，則得到，24即。設(shè)兩共軛直徑的斜率分別為，則有，，即得。曲面上兩個(gè)方向（）和（稱為共軛方向，如果。對(duì)，，有24。曲面上兩個(gè)方向和稱為曲面上的共軛方向，如果有，或者。換一種寫法，即。前面已證，曲面上的兩主方向正交，現(xiàn)證兩主

6、方向共軛。事實(shí)上，將方程（5）的兩根寫出，再由根與系數(shù)的關(guān)系知，，24所以曲面上兩個(gè)主方向（）和（是曲面上的共軛方向。這樣一來，曲面上使法曲率分別達(dá)到最大值和最小值的兩個(gè)方向，必互相垂直，且互為共軛方向，即，。。主方向的判別定理（羅德里格斯（Rodrigues）定理),如果方向是主方向,則,其中，是曲面沿方向(d)的法曲率。反之,如果對(duì)于方向(d),有,則(d)是主方向,且，是曲面沿方向(d)的法曲率。證明先證定理的前半部分：設(shè)是垂直于24(d)的另一個(gè)主方向。由，兩邊微分得。這關(guān)系式說明在切平面上，于是，將兩邊點(diǎn)乘，并注意（這是由于方向和的共軛性，以及（這是由于這兩個(gè)方

7、向的正交性），得到，因此，由此，在把這等式兩邊點(diǎn)乘，得，，由此得。再證定理的前后半部分：24設(shè)方向(d)滿足，現(xiàn)在要證明它是主方向。假設(shè)方垂直于，把等式的兩邊點(diǎn)乘，得，這表示方向和是共軛的。因此和不僅正交，而且共軛，所以它們都是主方向。由，可得。2.5.2Euler公式現(xiàn)在我們考察在曲面的一個(gè)非臍點(diǎn),法曲率隨方向而變化的規(guī)律,并可以看到,主曲率就是法曲率的最大值和最小值.首先我們證明這樣一個(gè)事實(shí).定理5.4不含臍點(diǎn)的曲面片上,參數(shù)曲線的方向是主方向當(dāng)且僅當(dāng)24.證明必要性首先因參數(shù)曲線的切方向是主方向,而主方向必正交,因此F=