曲面上的杜邦指標線曲率線

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1、第二章曲面論第十一節(jié)曲面上的曲線七、曲面上的主方向、主曲率和曲率線法曲率的最大值和最小值所滿足的方程為，（2）其判別式為，故當且僅當時，判別式為零，即，（3）滿足（3）式的點稱為臍點,24否則稱為非臍點.所以在一個非臍點,判別式，方程(2)總有兩個不相等的實根,曲面在這一點總有兩個不相等的法曲率，且分別是法曲率的最大值和最小值。法曲率取到的極值稱為主曲率.。在臍點,若令，則任意方向的法曲率常數(shù)，都為主曲率，而方程(2)變?yōu)椋@個關系無非表示任意方向的法曲率相等.對于的臍點，稱為平點。我們把不同時為零的臍點稱為圓點。容易證明球面上的每一點都是圓點。

2、24將代入方程(2)式，得到，經過計算，此方程可化為，事實上，利用待定系數(shù)法，經計算可知，，，于是有。故得使法曲率取到最值的方向為，此式還能寫成如下形式：。將代入，則有24，，（4）這給出曲面上的兩族曲線，曲線上的方向使法曲率達到最值。再給出另一種推演方法如下在法曲率取到極值的方向處，有，，，化簡后，得到，（3）此式還能寫成如下形式：。其判別式為24所以當且僅當時，判別式為零，即。所以在一個非臍點,判別式，方程(3)總有兩個不相等的實根,曲面在這一點總有兩個不相同的方向，法曲率在這兩個方向分別達到最大值和最小值。曲面上使法曲率達到極值的切方向，稱為

3、主方向。曲面上一條曲線，如果曲線在每點處的切方向都是曲面的主方向,則稱此曲線為曲面上的一條曲率線.在臍點處,方程(5.9)變成恒等式,即任意方向都為主方向.24將代入，則有，，（4）這方程確定了曲面上兩族曲率線，組成曲面上的曲率線網。定理5.2曲面在非臍點處,兩個主方向互相垂直.要證明這個定理,只要應用以下引理于方程(4).引理5.3曲面上一點由方程所確定的兩個切方向互相垂直的充要條件是，,這里是曲面的第一類基本量.證明兩個方向（）和（）24正交的充要條件是換一種寫法即，（5）將已知的二次方程寫成，則它的兩個根，記為，均應滿足上述方程,由根與系數(shù)的

4、關系知,，將上式代入(5)式，即得引理.對方程（4），有，所以曲面在非臍點處,兩個主方向互相垂直.【注1】定理5.2只說明在非臍點處,24兩個主方向垂直,但任意兩個垂直的方向卻不是主方向.另一方面,在臍點處,任意方向都是主方向,因此主方向未必垂直,而任意兩個垂直的方向都是主方向.共軛方向定義　　設A為階實對稱矩陣，如果有兩個維向量和，（寫成列向量），滿足　　，（1）則稱向量與對于矩陣A共軛。如果A為單位矩陣，則式(1)即成為，這樣兩個向量的點積（或稱內積24）為零，此二向量在幾何上是正交的，它是共軛的一種特例。　　設A為對稱矩陣，若一組非零向量，滿

5、足　?。╥≠j）（2）則稱向量系為關于矩陣A共軛。共扼向量的方向稱為共軛方向。幾何意義設為二階對稱矩陣，，方程為以原點為中心的平面二次曲線。連結曲線上任意兩點的線段叫作弦；過中心的弦稱為直徑。平行于一條直徑的弦的中心的軌跡，亦構成直徑，稱與互為24共軛直徑，兩直徑分別所在的兩直線的方向，稱為曲線的共軛方向。設是一條直徑所在的直線的方程，是直線的方向；是平行于直徑的弦所在的直線的方程，是曲線上的點，則此弦與曲線的交點，滿足，，，共軛直徑的方向，將代入，則得到，24即。設兩共軛直徑的斜率分別為，則有，，即得。曲面上兩個方向（）和（稱為共軛方向，如果。對

6、，，有24。曲面上兩個方向和稱為曲面上的共軛方向，如果有，或者。換一種寫法，即。前面已證，曲面上的兩主方向正交，現(xiàn)證兩主方向共軛。事實上，將方程（5）的兩根寫出，再由根與系數(shù)的關系知，，24所以曲面上兩個主方向（）和（是曲面上的共軛方向。這樣一來，曲面上使法曲率分別達到最大值和最小值的兩個方向，必互相垂直，且互為共軛方向，即，。。主方向的判別定理（羅德里格斯（Rodrigues）定理),如果方向是主方向,則,其中，是曲面沿方向(d)的法曲率。反之,如果對于方向(d),有,則(d)是主方向,且，是曲面沿方向(d)的法曲率。證明先證定理的前半部分：設是

7、垂直于24(d)的另一個主方向。由，兩邊微分得。這關系式說明在切平面上，于是，將兩邊點乘，并注意（這是由于方向和的共軛性，以及（這是由于這兩個方向的正交性），得到，因此，由此，在把這等式兩邊點乘，得，，由此得。再證定理的前后半部分：24設方向(d)滿足，現(xiàn)在要證明它是主方向。假設方垂直于，把等式的兩邊點乘，得，這表示方向和是共軛的。因此和不僅正交，而且共軛，所以它們都是主方向。由，可得。2.5.2Euler公式現(xiàn)在我們考察在曲面的一個非臍點,法曲率隨方向而變化的規(guī)律,并可以看到,主曲率就是法曲率的最大值和最小值.首先我們證明這樣一個事實.定理5.4

8、不含臍點的曲面片上,參數(shù)曲線的方向是主方向當且僅當24.證明必要性首先因參數(shù)曲線的切方向是主方向,而主方向必正交,因此F=