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《多項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望_協(xié)方差陣_特征函數(shù)及母函數(shù)》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫(kù)。
1、多項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望、協(xié)方差陣、特征函數(shù)及母函數(shù)陳世錄,劉瑞元(青海師范大學(xué)數(shù)學(xué)系,青海西寧810008)摘要:本文討論了多元分布的數(shù)學(xué)期望、協(xié)方差陣,特征函數(shù)及母函數(shù),得到了一系列應(yīng)用公式.關(guān)鍵詞:多項(xiàng)分布;協(xié)方差陣;特征函數(shù)文章編號(hào):1001-7542(2003)02-0010-04中圖分類號(hào):O211.2文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A1引言與預(yù)備知識(shí)關(guān)于多項(xiàng)分布至今未見(jiàn)有文獻(xiàn)對(duì)其進(jìn)行較深入討論,本文對(duì)多項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望、協(xié)方差陣、特征函數(shù)及母函數(shù)進(jìn)行了研究,得到一些便于應(yīng)用的公式.定義1.1[1]若r維隨機(jī)變量(x1,P(x1=n1,,xr)的概率分布為n!nn,xr=nr
2、)=n(1.1)!p11prr!nr1rr其中諸ni為非負(fù)整數(shù),且∑ni=n,0≤pi≤1,i=1,,r,∑pi=1,則稱(x1,,xr)服從多項(xiàng)分布,i=1i=1記為M(n,p1,,pr).引理1.1[1]設(shè)r維隨機(jī)變量(x1,邊沿分布為,xr)服從多項(xiàng)分布M(n1,p1,,pr),則它關(guān)于第i個(gè)分量的n!nn-nP(xi=ni)=n!pii(1-pi)i,i=1,,r.(1.2)!(n-ni)i引理1.2[2]設(shè)隨機(jī)變量x服從二項(xiàng)分布b(n,p),則x的數(shù)學(xué)期望E(x)=np,x的方差Var(x)=npq.2多項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望與協(xié)方差陣定理2.1設(shè)r維隨機(jī)變
3、量(x1,,xr)服從多項(xiàng)分布M(n,p1,,pr),則其數(shù)學(xué)期望E(x1,,r,的方差為xr)=(np1,,npr)(2.1)隨機(jī)變量xi,i=1,bii=Var(xi)=npiqi,i=1,,r(2.2)其中qi=1-pi.證明由設(shè)r維隨機(jī)變量(x1,,xr)服從多項(xiàng)分布M(n,p1,,pr),又由引理1.1知第i個(gè)分量xi,i=1,,r,服從二項(xiàng)分布b(n,pi),又由引理1.2知xi的數(shù)學(xué)期望與方差分別為E(xi)=npi,Var(xi)=npiqi,i=1,(2.3)r,于是隨機(jī)向量(x1,xr)的數(shù)學(xué)期望E(x1,xr)=(np1,,npr).第i個(gè)
4、分量的方差收稿日期:2002-10-28作者簡(jiǎn)介:陳世錄(1947-),男(漢族),重慶人,青海師范大學(xué)副教授.第2期陳世錄,劉瑞元:多項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望、協(xié)方差陣、特征函數(shù)及母函數(shù)11bii=Var(xi)=npiqi,i=1,,r.證畢.引理2.1設(shè)r維隨機(jī)變量(x1,xr)服從多項(xiàng)分布M(n,p1,1≤i≤j≤r的邊沿分布為,pr),則它關(guān)于兩個(gè)分量(xi,xj),n!nnn-n-nP(xi=ni,xi=nj)=n!piipjj(1-pi-pj)(2.4)ij.!n!(n-n-nj)ijixi=ni,xj=nj,∑xs=n-ni-nj證明P(xi=ni,xj
5、=nj)=Ps≠i,jn!p1npnpnpn=∑1ijrijrn1!ni!nj!nr!∑s≠i,jn=n-n-nsij(n-ni-nj)!n!pnipn=∑jijnj!(n-ni-nj)!ni!×pnn1!n(i-1)!n(i+1)!n(j-1)!n(j+1)!nr!∑s≠jn=n-n-nsijpnpnpnpnpn11ii-+1ii++1jj--1jj++1rrn!+p)n-n-npnipn(p+=+p+p+p+p+jijij1i-1i+1j-1j+1rnj!(n-n!ni-nj)!ni!pnipn(1-p-p)n-n-n.證畢.=jijijijnj!(n-ni
6、-nj)!ni!定理2.2設(shè)r維隨機(jī)變量(x1,xr)服從多項(xiàng)分布M(n,p1,pr),則(x1,xr)的協(xié)方差陣B=r×r(bij),其中bii=npiqi,bij=-npipj(i≠j).證明xi與xj的協(xié)方差(215)bij=cov(xi,xj)=E(xixj)-E(xi)E(xj)其中E(xi)=npi,E(xj)=npj.nn!p)n-n-npnirn(1-p-E(xixj)=∑ninjjijijijni!nj!(n-ni-nj)!i,j=1n(n-2)!pni-1pnp)n-n-n=n(n-1)pipj∑(1-p-j-1ijijiji,j=1(ni-
7、1)!(nj-1)!(n-ni-nj)!=n(n-1)pipj.將E(xi),E(xj),E(xixi)的值代入(2.5)式,得bij=cov(xi,xj)=n(n-1)pipj-npi·npj=-npipj,(i≠j).于是(x1,,xr)的協(xié)方差矩陣B=(bij)r×r其中bii=npiqi,bij=-npipj,(i≠j).證畢.3多項(xiàng)分布的特征函數(shù)定理3.1設(shè)r維隨機(jī)變量(x1,,xr)服從多項(xiàng)分布M(n,p1,,pr),則(x1,,xr)的特征函數(shù)(3.1),tr)=(p1eit1++preitr)n.Φ(t1,證明由特征函數(shù)定義知(x1,,xr)的特
8、征函數(shù)(t1x1++tr
