期望、方差協(xié)方差

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1、隨機變量的數(shù)字特征一、數(shù)學期望E（x)的性質(zhì)：性質(zhì)一：常數(shù)C，E（C)=C;性質(zhì)二：X為隨機變量，C為常數(shù)，則E(CX）=CE（X)；性質(zhì)三：X，Y為隨機變量，則E(X+Y)=E(X)+E(Y)；性質(zhì)三：X,Y為相互獨立的隨機變量時，E（XY）=E（Ｘ）Ｅ（Ｙ）二、方差的性質(zhì)：D(X)=E(X2）-[E(X)]2性質(zhì)一：C為常數(shù)，則D(C)=0；性質(zhì)二：X為隨機變量，C為常數(shù)，則D(CX)=C2D(X)D(X±C)=D(X)性質(zhì)三：X，Y為相互獨立隨機變量Ｄ（X±Y)=D(X)+D(Y)當X，Y不相互獨立時：D(X±Y）=D(X)+D

2、(Y)±2COV(X,Y);關于協(xié)方差COV（X+Y，X-Y)=D(X)-D(Y)的證明？???證：由COV（X，Y）=E（XY）-E(X)E(Y)?得????COV（Ｘ＋Ｙ，Ｘ－Ｙ）＝E[(X+Y)（X-Y)]-E（X+Y)E(X-Y)?=E（X^2-Y^2）-{[E(X)+E(Y)][E(X)-E(Y)]}????????=E(X^2)-E(Y^2)-E(X)E(X)+E(Y)E(Y)??????=E(X^2)-E(X)E(X)-[E(Y^2)-E(Y)(Y)]?=D(X)-D(Y)?三、常用函數(shù)期望與方差：⑴（0-1）分布：①分

3、布律：P{X=K}=p^k(1-p)^1-k,k=0,1,2...(0=1,00)②數(shù)學期望：λ③方差：λ⑷均勻分布U（a,b):①分布律：f(X)=1/(b-a),a

4、方差：（b-a)2/12⑸指數(shù)分布E（λ）：①分布律：f(X)=λe^(-λ),X>0;f(X)=0,X≦0;②數(shù)學期望：1/λ③方差：1/λ2⑹正態(tài)分布N（μ，ρ2）①分布律：f(x)=1/﹙√2π*ρ)*e^(-(x-μ)2/(2ρ2)),(-∞0)②數(shù)學期望：μ③方差：ρ2四、切比雪夫不等式：隨機變量的數(shù)學期望E(x)與方差D(x)存在，則對于任意整數(shù)ε，不等式：P{

5、X-E(X)

6、≥ε}≤D(X)/ε2成立。等價于：P{

7、X-E(X)

8、＜ε}≥1-D(X)/ε2推論：D(X)=0的充分必要條件是X以概率1取常數(shù)

9、，即P{X=C}=1，C為常數(shù)。其實，C=E(X)。五、協(xié)方差Cov（X,Y）性質(zhì)一：Cov(X,Y)=Cov(Y,X);性質(zhì)二：Cov（aX,bY)=abCov(X,Y);性質(zhì)三：Cov（X1+X2，Y）=Cov（X1,Y）+Cov（X2,Y）；性質(zhì)四：X，Y相互獨立，則Cov（X,Y）=0。關于相關系數(shù)ρ：若X,Y的協(xié)方差Cov（X,Y）存在，且D(X)>0,D(Y)>0,則Ρ=Cov（X，Y）/(√D(X)*√D(Y))性質(zhì)一：

10、ρ

11、≤1；性質(zhì)二：

12、ρ

13、=1的充分必要條件，存在常數(shù)a,b使得P{Y=aX+b}=1①當X,Y相互獨

14、立時，Cov（X,Y）=0，若相關系數(shù)ρ存在，則，X,Y不相關；②若X,Y不相關，則X,Y不一定相互獨立。不相關是指X,Y不存在線性關系，但他們之間可以存在其他某種函數(shù)關系，比如：Y=X2，因此，X,Y未必相互獨立。