運(yùn)用分類討論思想,解決排列組合問題

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1、運(yùn)用分類討論思想，解決排列組合問題■河南省新鄉(xiāng)市第一中學(xué)453100吳磊排列組合問題是歷年高考的必考點(diǎn)，求解這類問題往往有多個不同的思路，若選擇方法得當(dāng)，求解過程簡單，容易讓人接受；否則復(fù)雜難解且易犯“重復(fù)”或“遺漏”等錯誤．因此，排列組合問題是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)之一。本文試圖從分類討論思想方法出發(fā)，給出解決這些問題的一個有效方法，有效避免出現(xiàn)“重復(fù)”和“遺漏”等錯解．一、解決站位問題1、有5名男生，4名女生排成一排，要求甲男生不站在排頭，乙女生不站有排尾，則不同的排法有多少種？解析：將排法分成兩類：一類是甲站在排尾，其

2、余的可全排，有種排法；另一類是甲既不排尾又不站在排頭有種站法，乙不站在排尾而站在其它位置，其余的可全排，有種排法，故不同的排法共有＋＝287280種.2、（08年遼寧卷）一生產(chǎn)過程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．現(xiàn)從甲、乙、丙等6名工人中安排4人分別照看一道工序，第一道工序只能從甲、乙兩工人中安排1人，第四道工序只能從甲、丙兩工人中安排1人，則不同的安排方案共有（）A．24種B．36種C．48種D．72種解析：按題目要求分成兩類解決，①第一道工序安排甲，第四道工序安排丙，安排方案有；②第一道工序安排乙，第四道工

3、序安排甲或丙，安排方案有種方案，共計12+24=36種不同的安排方案．故應(yīng)選擇B選項．二、解決染色問題243153．（2003年全國高考題）如圖所示，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著方法共有多少種？解析：依題意至少要用3種顏色,①當(dāng)先用三種顏色時，區(qū)域2與4必須同色，區(qū)域3與5必須同色，故有種；②當(dāng)用四種顏色時，若區(qū)域2與4同色，則區(qū)域3與5不同色，有3種；若區(qū)域3與5同色，則區(qū)域2與4不同色，有種，故用四種顏色時共有2種．由加法原理可知滿足題意的

4、著色方法共有+2=24+224=72．ABCDEF4．如圖，6個扇形區(qū)域A、B、C、D、E、F，現(xiàn)給這6個區(qū)域著色，要求同一區(qū)域涂同一種顏色，相鄰的兩個區(qū)域不得使用同一種顏色，現(xiàn)有4種不同的顏色可供選擇，則不同的著色方法共有多少種？解析：（1）當(dāng)相間區(qū)域A、C、E著同一種顏色時，有4種著色方法，此時，B、D、F各有3種著色方法，此時，B、D、F各有3種著色方法故有種方法．（2）當(dāng)相間區(qū)域A、C、E著色兩不同的顏色時，有種著色方法，此時B、D、F有種著色方法，故共有種著色方法.（3）當(dāng)相間區(qū)域A、C、E著三種不同的顏色

5、時有種著色方法，此時B、D、F各有2種著色方法。此時共有種方法.故總計有108+432+192=732種方法.5．將一個四棱錐的每個頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱的兩端點(diǎn)異色，如果只有5種顏色可供使用，那么不同的染色方法的總數(shù)是多少？解析：滿足題設(shè)條件的染色至少要用三種顏色.(1)若恰用三種顏色，可先從五種顏色中任選一種染頂點(diǎn)S，再從余下的四種顏色中任選兩種涂A、B、C、D四點(diǎn)，此時只能A與C、B與D分別同色，故有種方法；(2)若恰用四種顏色染色，可以先從五種顏色中任選一種顏色染頂點(diǎn)S，再從余下的四種顏色中任選兩種染

6、A與B，由于A、B顏色可以交換，故有種染法；再從余下的兩種顏色中任選一種染D或C，而D與C，而D與C中另一個只需染與其相對頂點(diǎn)同色即可，故有種方法；(3)若恰用五種顏色染色，有種染色法,綜上所知，滿足題意的染色方法數(shù)為60+240+120=420種.三、解決“多面手”問題6．現(xiàn)有翻譯8人，其中3人只會英語，2人只會日語，還有3人英語、日語都會，現(xiàn)從這8人中選取3名英語、2名日語翻譯，有多少種不同的選法？3解析：按選擇只會日語的翻譯人數(shù)進(jìn)行分類，若從2人中選2名日語翻譯，有種選法；若從2人中選1名日語翻譯，有種選法；若

7、從2人中不選日語翻譯，有種選法；故共有++=92種不同的方法.四、解決數(shù)字問題7.用0，1，2，3，4這五個數(shù)字可組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字且是3的倍數(shù)的三位數(shù)？解析：構(gòu)成3的倍數(shù)的三位數(shù)，各個位上數(shù)字之和是3的倍數(shù)，將0，1，2，3，4按除以3的余數(shù)分成3類，按照取0和不取0分類：取0，從1和4中取一個數(shù)再取2進(jìn)行排列，先填百位，其余任意排，故有種；不取0，則只能取3，從1和4中再任取一類，再取2，然后進(jìn)行全排列為，所以共有+=8+12=20個三位數(shù).五、解決幾何計數(shù)問題8．四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共有10個點(diǎn)，在其中取

8、4個不共面的點(diǎn)，不同的取法共有（）A．150種B．147種C．144種D．141種解析：從10個點(diǎn)中任取4個點(diǎn)有種取法，其中4點(diǎn)共面的情況有三類。第一類，取出的4個點(diǎn)位于四面體的同一個面內(nèi)，有種；第二類，取任一條棱上的3個點(diǎn)及該棱對棱的中點(diǎn)，這4點(diǎn)共面，有6種；第三類，由中位線構(gòu)成的平行四邊形（其兩組對邊分別平行于四面體相對的兩條棱），它的4個