用分類的數(shù)學(xué)思想討論冪指法可解的排列組合問題

《用分類的數(shù)學(xué)思想討論冪指法可解的排列組合問題》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在應(yīng)用文檔-天天文庫。

1、用分類的數(shù)學(xué)思想討論冪指法可解的排列組合問題　　用分類的數(shù)學(xué)思想討論冪指法可解的排列組合問題　　　　萬海芬　　　?。☉讶士h第一高級職業(yè)中學(xué)）　　　　排列組合屬于數(shù)學(xué)中相對獨立的一門分支學(xué)科，它研究的核心問題是在給定條件下的某事件可能出現(xiàn)的情況總數(shù)。排列組合既是學(xué)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計的理論基礎(chǔ)，又是組合數(shù)學(xué)中最基本的概念。由于排列組合問題千變?nèi)f化，解法靈活，條件隱晦，思想抽象，難以找到解題的突破口。因而在求解排列組合應(yīng)用題時，除了做到排列組合分清，加法乘法原理辯明外，還應(yīng)注意避免重復(fù)或遺漏。　　　　在排列組合問題中，除了最直觀的捆綁法和插空

2、法外，還有常用的冪指法等。這里，主要討論分類的數(shù)學(xué)思想解決能用冪指法解決的問題?！　　　缰阜▽儆诜植椒ǖ囊环N特殊情況，完成目標(biāo)事件的每一步方法的個數(shù)是相同的，即m1=m2=…=mn=m那么總數(shù)N=mn,因此我們也可稱它為乘方原理。冪指法一般出現(xiàn)于允許重復(fù)的排列問題中。這類問題研究的對象是不受位置約束的元素，一般把n個不同的元素?zé)o限制地安排在m個不同的位置上的排列數(shù)為N=mn.不難看出這類排列問題允許空位的存在。并且每一個位置中的元素個數(shù)不受限制。所以我們可以根據(jù)位置的數(shù)量進(jìn)行分類?！　　　±喊讶麑嵙?xí)生分配到5個車間實習(xí)，共有多少種

3、不同的分法？　　　　利用冪指法解：每名實習(xí)生都有5種不同的分法。所以3名實習(xí)生共有53=125（種）不同的分法?！　　　±梅诸惖臄?shù)學(xué)思想去解，根據(jù)所選車間的數(shù)量進(jìn)行分類?！　　　〉谝活悾褐贿x一個車間實習(xí)?！　　　?個車間中任選一個車間，3人同去一個車間有C51C33=5（種）分法?！　　　〉诙悾哼x兩個車間實習(xí)?！　　　∈紫葟奈鍌€車間中任取兩個車間，有C52種取法。針對每取出的兩個車間又各有幾種分配方法，不妨以取到1號車間和2號車間為例，（1）1號車間可以去1人。2號車間去2人。這時，1號車間的1人來自已有的3人，余下的2人去2號車

4、間，有C31C22種分配方法。（2）1號車間去2人，2號車間就去1人。這時1號車間的2人來自已有的3人，余下1人去2號車間。有C32C11種分配方法。此時共有C31C22+C32C11=6（種）分配方法。而兩個車間的取法又有C52種取法，所以選兩個車間實習(xí)的方法共有C52（C31C22+C32C11）=60（種）。　　　　第三類：選三個車間實習(xí)。　　　　從五個車間中任取三個車間。有C53種取法。三個實習(xí)生只能每人去一個車間，又能進(jìn)行全排列。所以共有C53A33=60（種）分配方法?！　　　【C上所述，共有C51C33+C52（C31C22

5、+C32C11）+C53A33=125（種）不同的分配方法?！　　　∠鄬缰阜?，分類思想解決本題較為復(fù)雜，但通過幾年的教學(xué)發(fā)現(xiàn)，(..)能用分類思想解決此題，就能解決一系列相關(guān)題目。并為不能用冪指法去解決的題目的解題思路提供幫助。如：　　　　1.將4個不同的小球，放入編號為1、2、3、4的盒子中。　　　?。?）求有多少種不同的放法？　　　?。?）若1號盒子中有兩個球，求有多少種不同的放法？　　　?。?）若沒有空盒子，求有多少種不同的放法？　　　?。?）若有兩個空盒子，求有多少種不同的放法？　　　　解析：　　　　（1）根據(jù)所選盒子的數(shù)量進(jìn)

6、行分類。第一類：只取一個盒子，有C41=4（種）取法。4個球會進(jìn)入同一個盒子。也就有C41=4（種）放法；第二類：取兩個盒子，有C42=6（種）取法。這時針對每取到的2個盒子都有C41C33+C42C22+C43C11=14（種）取法。所以共有C42（C41C33+C42C22+C43C11）=84（種）不同的取法；第三類：取三個盒子，有C43種取法。這時針對每取到的3個盒子又有C41C31C22+C41C32C11+C42C21C11=36（種）取法。所以共有C43（C41C31C22+C41C32C11+C42C21C11）=144

7、（種）取法；第四類：取4個盒子，共有4個球，相當(dāng)于做一次全排列。即有A44=24（種）不同的放法。所以共有4+84+144+24=256（種）不同的放法。　　　?。?）若1號盒子中有兩球，相當(dāng)于剩下兩個球要放進(jìn)三個盒子。同樣可以根據(jù)盒子的數(shù)量進(jìn)行分類。第一類：只取一個盒子，有C31種放法；第二類：取2個盒子，有C32種取法，共有2個小球，可以進(jìn)行排列，即A22C32.所以共有C42（C31+A22C32）=54（種）不同的放法?！　　　。?）若沒有空盒子，恰好4個盒子全用到了。相當(dāng)于（1）中的第四類?！　　　。?）若有兩個空盒子，也就是

8、從4個盒子中用到兩個盒子。正好相當(dāng)于（1）中的第二類?！　　　?.把5個相同的小球放入3個形狀不同的盒子里，如果允許有盒子不放球，求有多少種不同的放法？　　　　解析：可以根據(jù)盒子的數(shù)量進(jìn)行分類。第一類：取一