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《裘宗滬教授、朱華偉、馮祖鳴、吳偉朝教授、錢展望講座3》由會員上傳分享,免費在線閱讀,更多相關內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、3月22日下午馮祖鳴北京大學畢美國一所私立中學教師美國國家隊IMO領隊email:zfeng@exeter.edu主講美國數(shù)學奧林匹克(含部分伊朗內(nèi)容)風格:先讓學員自己做。然后讓學員講,不會,則他給出提示。1.n-序列:1,2,3,…,n.找出最小的n,存在一個n-序列是個“回尾數(shù)”,在19-列中有多少個“回尾數(shù)”。“回尾數(shù)”是指從頭到尾讀或從尾到頭讀是一樣的數(shù)。如12321。解:(1)2,13,4,15,6,17,8,19,1,10,11,9,18,7,16,5,14,3,12(2)9,18,7,16,5,14,3,12,1,10,11,2,13,4,15
2、,6,17,8,192.設S=,2是以1開頭的604位數(shù),求S中以4開頭的數(shù)的個數(shù)。解:以1開頭的數(shù)有603個,則以2,3開頭的數(shù)有603個,以4,5,6,7開頭的數(shù)有603個,以8,9開頭的數(shù)有2004-(603+603+603)=1809個。所以以4開頭的數(shù)有1809個。3月22日下午馮祖鳴美國一所私立中學教師美國國家隊IMO領隊主講美國數(shù)學奧林匹克(含部分伊朗內(nèi)容)風格:先讓學員自己做。然后讓學員講,不會,則他給出提示。3月23日上午吳偉朝中國數(shù)學奧林匹克高級教練員數(shù)學奧林匹克命題專家IMO中國國家代表隊教練MO方向碩士生導師地址:廣州大學理學院數(shù)學系0
3、20-86198971(宅)13600078895Email:wuweichao@hotmail.com主講函數(shù)與函數(shù)方程1.求證:任何一個其定義域關于原點對稱的函數(shù),都可表示為一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)之和,并且表示是唯一的。解:y=f(x),x∈D,若x∈D則-x∈D設f(x)=g(x)+h(x),g(x)是奇函數(shù),h(x)是偶函數(shù)f(-x)=g(-x)+h(-x)=-g(x)+h(x)兩式相加和相減分別得到h(x)=(f(x)+f(-x))g(x)=(f(x)-f(-x))2.設a∈R,若函數(shù)y=f(x)與y=10+3關于直線y=x對稱,且y=f(x)與y=
4、lg(x-x+a)有公共點,求a的取值范圍。解:y=f(x)是y=10+3的反函數(shù),即y=lg(x-3)∵y=f(x)與y=lg(x-x+a)有公共點,∴方程lg(x-x+a)=lg(x-3)有解∵由x-x+a=lg(x-3)得a=-x+2x-3=-(x-1)-2再由x>3得a<-6yzx<0y+xz+x-x3.在正三角形的三個頂點上各放置一個整數(shù),使得三個數(shù)的和為正。若某個頂點上的數(shù)x<0,則三個頂點上的數(shù)x,y,z分別被換為-x,y+x,z+x.只要三個數(shù)中還有一個是負數(shù),這種“操作”就進行下去,一直到不出現(xiàn)負數(shù)時才停止。問:是否存在有限多次之后,這種“操
5、作”一定會停止。解:構造函數(shù)設f(x,y,z)=x+y+z條件:(1)f(x,y,z)≥0;(2)f(x,y,z)為整數(shù);(3)f(x,y,z)嚴格下降即f(x,y,z)>f(-x,y+x,z+x).f(x,y,z)-f(-x,y+x,z+x)=x+y+z-[(-x)+(y+x)+(z+x)]=-2x(x+y+z)……..以下為函數(shù)方程4.求出所有的函數(shù)f:R-->R,使得對于所有的a,b∈R,都有f(a·f(b))=ab(*)解法一:特殊到一般取a=1,f(f(b))=b(1)對(*)兩邊取f,并利用(1)f(ab)=f(f(a·f(b)))=af(b)(2
6、)對(2)中取b=1,f(a)=af(1)(3)把(3)帶入(*),左右互換ab=f(1)·ab所以f(1)=1或f(1)=-1∴所求函數(shù)為f(x)=x或f(x)=-x解法二:利用滿射3月28日李興懷華南師大附中4月1日錢展望中學數(shù)學特級教師,湖北省數(shù)學學會理事,中國數(shù)學奧林匹克高級教練。所帶學生共獲得7塊金牌。現(xiàn)為珠海人大附中副校長。1.證明:(1)若x>0,y>0,則;(2)若x,y,z∈R+,則。證:(1)(2)點評:不要把問題考慮的太復雜。用“爬坡推理”2.若,證明:(1)(2)設,求證:分析用數(shù)學歸納法當n=1時,顯然成立當n=2時,當n=3時,已不
7、好判斷,因為后面的項正負交錯。當若設n=k時,結論成立,判斷n=k+1比較簡單。因為(2)思考:前兩道題若沒有第一問,是否能做出來。3.設x,y,z∈R,滿足,試證:x,y,z都不是負數(shù),也都不大于a.分析:本題為60年代華羅庚老一輩數(shù)學家提出的問題,估計考查兩問解法一:(華羅庚老一輩數(shù)學家給出)(1)消去a得若z<0,則x+y≤0x+y+z<0,矛盾.故z≥0.同理可證x≥0,y≥0.(2)令經(jīng)驗證X,Y,Z滿足由第一問知X,Y,Z都不是負數(shù),所以x,y,z都不大于a.以下為新的解法。解法二由(1)得z=a-(x+y),代入(2)得變形為關于x的方程:△=所
8、以0≤y≤a;同理0≤x≤a,0≤z≤