裘宗滬教授、朱華偉、馮祖鳴、吳偉朝教授、錢展望講座

《裘宗滬教授、朱華偉、馮祖鳴、吳偉朝教授、錢展望講座》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。

1、3月9日上午裘宗滬老師點(diǎn)評(píng)IMO1．(荷蘭)如圖，.求證：.證法一：設(shè)AR=BR=x,BP=y,AQ=z,由正弦定理可得PC=y,CQ=z.在△ABR，△BPC,△ACQ中，應(yīng)用余弦定理得BC2=（2+)y2,AB2=（2+)x2,AC2=（2+)z2。,,設(shè)∠ABC=B，∠ACB=C，∠BAC=A，在△ABC中應(yīng)用余弦定理得：同理要證PR2=RQ2,需證zsinA=ysinB∵，即∴,zsinA=ysinB∴PR2=RQ2,∴PR=RQ要證PR2+RQ2=PQ2,需證xysinB+xzsinA=2yzsinC∵,∴,將他代入上式

2、可證得。證法二：2.最簡(jiǎn)單的組合題、最難的組合題以及最漂亮的組合題（1）設(shè)S={1，2，3，…，1978}，把S分成6個(gè)互不相交的集合，即.求證：在某一中，一個(gè)元素是其他兩個(gè)元素的和，或者是某一元素的2倍.（2）（2001.3.第42屆IMO試題）21個(gè)男孩和21個(gè)女孩參加一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽：(i)每一個(gè)參賽都至多解出了6道題；(ii)對(duì)于每一個(gè)女孩和每一個(gè)男孩，至少有一道題被這一對(duì)孩子都解出.證明：有一道題，至少有3個(gè)女孩和至少有3個(gè)男孩都解出.略證：G是參加比賽的女生集合，B是參加比賽的男生集合，P為題目集合，P(g)是被解出來的題

3、目集合，P(b)是被解出來的題目集合，G(P)是解出的女生集合，B(p)是解除出p的男生集合。依題意，對(duì)任意gG，bB，有：(i)

4、P(g)≤6

5、,

6、P(b)

7、≤6；(ii)P(g)P(b).為了證明存在pP滿足

8、G(P)

9、≥3,

10、B(p)

11、≥3，我們假設(shè)對(duì)任意pP,有

12、G（p）

13、≤2或

14、B(p)

15、≤2.若

16、G(p)

17、≤2，則將p染成紅色，否則將其染成黑色，考慮一個(gè)21的棋盤，每一行代表一個(gè)女生，每一列代表一個(gè)男生，對(duì)gG，bB,對(duì)相應(yīng)的方格(g,b)進(jìn)行染色，任選pP(g)P(b)，將p的顏色涂在(g,b)內(nèi)，由條件(ii)知，

18、這樣的涂法是存在的，由抽屆原理知至少有一種顏色涂了不少于個(gè)方格，存在一行至少有11個(gè)黑色格或存在一列至少有11個(gè)紅格.假設(shè)gG所在行至少有11個(gè)黑色格，對(duì)這11個(gè)黑色格中的每一個(gè)所代表的題目，最多被2個(gè)男生解出，于是至少有道不同的題目被g解出，由條件(i)知g僅解出這6道題，這樣最多有12個(gè)男生解的題也被g解出，與條件(ii)矛盾.同理，若存在一列至少有11個(gè)紅格也可推出矛盾，因此，必存在pP，滿足

19、G(p)

20、≥3,

21、B(p)

22、≥3.（3）3月9日裘宗滬老師點(diǎn)評(píng)IMO下午（陰影部分題為集體研討題目）1.在銳角三角形ABC中，AP是

23、BC邊上的高，O是外心，若.求證：（第42屆IMO試題）.分析：2.兩圓相交于A、B兩點(diǎn)，過A作直線與兩圓分別交于C和D，若弧CB和弧DB（這兩弧不含A）中點(diǎn)分別是M和N，線段CD中點(diǎn)是K，求證：（2000年伊朗數(shù)學(xué)奧林匹克）.3.在銳角三角形ABC中，角C的平分線交AB于L，從L作邊AC和邊BC的垂線，垂足分別為M和N，設(shè)AN和BM的交點(diǎn)是P，證明：CPAB(2000年保加利亞數(shù)學(xué)競(jìng)賽，十年級(jí)).分析一：連接CP并延長(zhǎng)交AB于Q，利用基本結(jié)論：；分析二：過C作CQ垂直AB于Q，往證AN、BM、CQ共點(diǎn)，利用塞瓦定理轉(zhuǎn)化結(jié)論，然后

24、利用四點(diǎn)共圓的知識(shí)得出結(jié)論；分析三：利用向量的內(nèi)積與向量相互垂直的關(guān)系；分析四：解析幾何的方法；分析五：過C作AB的平行線，利用同一法可得結(jié)論.思路1，同一法：作于Q，只要證BM、AN、CQ共點(diǎn)，由塞瓦定理，只要證，由三角形相似，轉(zhuǎn)化為。圖2思路2：延長(zhǎng)CP交AB于Q，只要證，由得，從而得，轉(zhuǎn)化為證明，即，最后用塞瓦定理證得。思路3：延長(zhǎng)CP交AB于D，過C作AB的平行線l，延長(zhǎng)LM，LN交l于E、F，得，由同一法證得結(jié)論。思路4，向量法：設(shè)，，，，計(jì)算得。也可以用解析幾何證。另外，若CL為外角平分線也有類似的結(jié)論。4.圓O1與圓

25、O2內(nèi)切于圓O，切點(diǎn)分別為M、N，圓O1與圓O的公共弦交圓O于A和B兩點(diǎn)，MA和MB交圓O1于C和D，證明：圓O2和直線CD相切(40屆IMO).5.圓S1圓S2相交于A、B，一直線過A，與S1交于C，與S2交于D，點(diǎn)M、N、K分別是線段CD、BC、BD上的點(diǎn)，且MN//BD，MK//BC，設(shè)在S1的弧BC上（不含點(diǎn)A）有一點(diǎn)E，在S2的弧BD上（不含點(diǎn)A）有一點(diǎn)F，滿足，求證:(第43屆IMO備選題).答案見《中等數(shù)學(xué)》2003年第5期P2876.在平行四邊形ABCD中，E、F分別是邊AD和CD上的點(diǎn)，，EG平行AB與BF相交于

26、G，若AF與BE相交于H，DH與BC相交于BC.求證：（2002年保加利亞國(guó)家數(shù)學(xué)奧林匹克地區(qū)賽）.答案見《中等數(shù)學(xué)》2004年第一期P267.圓S1圓S2相交于P、Q兩點(diǎn)，在S1上取不同的兩點(diǎn)A1和B1（不是P、Q），直線A1P和B1P交S2分別