鄧超 與導(dǎo)群同構(gòu)的群的某些性質(zhì)

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1、與導(dǎo)群同構(gòu)的群的某些性質(zhì)鄧超（閩江學(xué)院數(shù)學(xué)系福建，福州350108）摘要：本文探討了這樣一類群：它同構(gòu)與某一個群的導(dǎo)群。為了行文方便，文中將這類群稱之為可積群，并稱這類群具有可積性質(zhì)，并應(yīng)用初等群論的方法研究了有限群的這一性質(zhì)，特別研究了有限循環(huán)群，交換群和冪零群的可積性，得到了一些初步的結(jié)果。關(guān)鍵字：導(dǎo)群；冪零群；可積性；1．引言及預(yù)備知識設(shè)為一抽象群，令，稱為的換位子。又令，稱為的導(dǎo)出群，簡稱導(dǎo)群。對于任一群來說，若存在群使得和同構(gòu)，則稱群可積，稱H為可積群，稱為的原擴群，簡稱原群，并記。任意抽象群顯然都有導(dǎo)群，但反過來，每個群是否都可積呢？這就是一個很自然的

2、問題。如果不是，那么當(dāng)它滿足什么條件時，它可積？本文嘗試對這一問題進行研究，獲得了初步的結(jié)果。需要指出的是若一個群可積，那么它的原擴群并不唯一（例如對于單位元群來說，任何交換群都是其原擴群）。注1：本文作者在考慮階為的群G的同構(gòu)分類時，發(fā)現(xiàn)已有的方法比較煩瑣，故考慮新的思路：考慮G導(dǎo)群列，先考慮等情況，而后再用群的擴張理論得到，以此類推，得到G。采取這種方法面臨兩個困難，第一個困難是什么樣的群能在該導(dǎo)群列中出現(xiàn)，即什么樣的群能夠作為p群的導(dǎo)群，將這一問題推廣就得到了群的可積性問題。第二個困難是：由如何得到，即對于可積群G，如何得到其原擴群的問題。如無特別的說明，本

3、文中提到的群均為有限群，用記號表示為的子群，表示為的正規(guī)子群，char表示為的特征子群，表示的中心，表示的sylow-群。（其中p為素數(shù)）特別提請注意的是若群和群同構(gòu)，文中將視之為同一個群，即。下面給出導(dǎo)群的若干性質(zhì):性質(zhì)1若，則。性質(zhì)2若，則。性質(zhì)3設(shè)是群，則。引理1(見文[1，定理III3.11])設(shè)為正整數(shù)，是階循環(huán)群被階循環(huán)群得擴張。則有如下定義關(guān)系：(1)其中參數(shù)滿足關(guān)系式，。(2)反之，對每組滿足(2)式得參數(shù)，(1)式都確定一個階循環(huán)群被階階循環(huán)群得擴張。引理2(見文[1，定理IV5.12])設(shè)為有限p群，則若循環(huán)，亦循環(huán)。引理3可積群的直積是可積群

4、。證明：由性質(zhì)3立得。引理4若群可積，char，則可積。證明：可積，群使得，char，且char，char，，則由性質(zhì)2得，既可積。2主要結(jié)果定理1任意階循環(huán)群皆可積；特別的，循環(huán)p群可積。證明：設(shè)為階循環(huán)群，我們用霍爾德定理，即引理1構(gòu)造出的原群。由霍爾德定理的證明過程可知由(1)(2)所確定的群的任何元素都可以表示成。先證這樣的群的導(dǎo)群可由生成。則，使得。則，的每個換位子由生成，。下面令(3)則(3)的解必是(2)的解，則顯然是(3)的一組解。所以，此時群的階為（因為），即為階循環(huán)群。所以此時群就是階循環(huán)群的原群。注2：上述定理說明任意階循環(huán)群的原群都可以是一

5、個亞循環(huán)群，同時也說明素數(shù)階循環(huán)群這類單群是可積的；又由我們熟知的結(jié)果，知交錯單群可積；這樣我們就得到這兩大類單群可積。事實上，對于p階循環(huán)群來說，非交換階群也可以作為其原群。略證如下：設(shè)，則,(否則若則循環(huán)，則交換與非交換矛盾)，故，所以是為階為p的循環(huán)群。推論1有限交換群是可積群。證明：因為有限交換群是循環(huán)p群的直積[見3，定理1.8.17]，由定理1和引理3立得。定理2群是冪零群，則可積的充要條件是其每個sylow子群可積。證明：1）充分性。因為群是冪零群，故的每個sylow子群正規(guī)，且能表示成其sylow子群的直積（見[3，定理1.8.14]）又由條件及引

6、理3得可積。2）必要性。設(shè)，則又設(shè)（其中），則，且char。令，則char，由引理4得可積，又和同構(gòu)，可積。注3：從定理3可以看出研究p群可積性的重要性，類似于有限群的其它性質(zhì)，我們再次看到了p群的重要性。引理1.2就是W.Burnside在研究什么群可以作為p群的導(dǎo)群時所得到的結(jié)論。我們將用它來證明一個結(jié)論。定理3若群是有限非循環(huán)p群，并且滿足循環(huán)，則若可積，其原群必定不是p冪零群。證明：用反證法。設(shè)是的原群，且為p冪零群。則。首先，循環(huán)，非循環(huán)，由引理2得不是p群，考慮的子群，顯然char。則，是p群，使得。又是p冪零群，。。也可以看成的原群，是p群[見2，命

7、題VIII1.2(1)]，這與的原群不是p群矛盾。由此得結(jié)論。3需進一步解決的問題1)任意群，是否都可積？若不是，找到群可積的充要條件并給出反例；若是，給出證明。2)對于任意群，怎樣求出其原群？以下問題均在問題1)否定的情況下有意義。3)p群都可積嗎？若答案是否定的，那么可積p群的性質(zhì)又如何？(若p群都可積，則冪零群都可積。）4)可解群可積性如何？(具體的說，可解群的sylow系與可積的關(guān)系如何？可解群的sylow系都可積，該可解群可積嗎？)5)是否所有單群都可積？6)群的半直積對群的可積性的影響如何？(設(shè)群可積，那么他們的半直積是否可積？)將該問題推廣可得到：群

8、的構(gòu)造方法