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《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)、矩)》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、4.3協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)、矩對(duì)于二維隨機(jī)變量(X，Y)，除了討論X與Y的數(shù)學(xué)期望和方差外，還需討論描述X與Y之間相互關(guān)系的數(shù)字特征：協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)．4.3.1協(xié)方差由4.2.2中方差的性質(zhì)(3)知,若隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立,則D(X+Y)=D(X)+D(Y),也就是說(shuō),當(dāng)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立時(shí),有E{[X–E(X)][Y–E(Y)]}=0成立,這意味著當(dāng)E{[X–E(X)][Y–E(Y)]}?0時(shí),X與Y不相互獨(dú)立,由此可見這個(gè)量的重要性．4.3.1協(xié)方差定義4.4設(shè)有二維隨機(jī)變量(X，Y)，如果E{[X–E(X)][Y–E(Y)]}存在，則稱其為隨機(jī)變量X與Y的協(xié)方差．
2、記為Cov(X，Y)，即Cov(X，Y)=E{[X–E(X)][Y–E(Y)]}這樣，上節(jié)中方差的性質(zhì)(3)可改寫為D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)由(4.9)式及(4.10)式知協(xié)方差的表達(dá)式可以表示為Cov(X，Y)=E(XY)–E(X)E(Y)常利用這個(gè)式子來(lái)計(jì)算協(xié)方差Cov(X，Y).4.3.1協(xié)方差由協(xié)方差定義，不難知道協(xié)方差還具有以下幾條性質(zhì)：(1)(2)(3)，a，b為常數(shù)；(4)(5)當(dāng)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立時(shí)，有Cov(X，Y)=0．4.3.1協(xié)方差【例4.22】設(shè)隨機(jī)變量(X，Y)具有概率密度其中區(qū)域G由曲線與圍成，如圖4-4所示，求
3、Cov(X，Y)及D(X+Y)．解：4.3.1協(xié)方差§4.3協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)、矩4.3.2相關(guān)系數(shù)定義4.5稱為隨機(jī)變量X與Y的相關(guān)系數(shù)．相關(guān)系數(shù)?XY是一個(gè)無(wú)量綱的量．?XY常簡(jiǎn)記為?．【例4.23】在例4-22中，求相關(guān)系數(shù)?XY．解：因?yàn)樗?.3.2相關(guān)系數(shù)4.3.2相關(guān)系數(shù)下面不加證明地給出相關(guān)系數(shù)的兩條性質(zhì)：(1)
4、?XY
5、?1；(2)
6、?XY
7、=1的充要條件是，存在常數(shù)a，b，使P{Y=aX+b}=1．定義4.6若?XY=0，稱X與Y不相關(guān)．0
8、X與Y的線性關(guān)系程度隨著
9、?XY
10、的減小而減弱,當(dāng)
11、?XY
12、=1時(shí)X與Y的線性關(guān)系最強(qiáng)，當(dāng)?XY=0時(shí)，意味X與Y的不存在線性關(guān)系，即X與Y不相關(guān).4.3.2相關(guān)系數(shù)由協(xié)方差的性質(zhì)(5)當(dāng)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立時(shí)，有Cov(X，Y)=0．易知定理4.3若X與Y相互獨(dú)立，則?XY=0，即X與Y不相關(guān)，反之不真．這意味著，X與Y不相關(guān)僅指X與Y之間不存在線性關(guān)系，并不能說(shuō)明X與Y不具有其他關(guān)系．4.3.2相關(guān)系數(shù)【例4.24】設(shè)隨機(jī)變量Z服從(–?，?)上的均勻分布，又X=sinZ，Y=cosZ，試求相關(guān)系數(shù)?XY．解：由于因而Cov(X，Y)=0，?XY=0．相關(guān)系數(shù)?XY=
13、0，說(shuō)明隨機(jī)變量X與Y不相關(guān)，但是，由于，所以X與Y不獨(dú)立．4.3.3矩矩的概念在后面的數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分有重要應(yīng)用．定義4.7設(shè)X和Y是隨機(jī)變量，若E(Xk)，k=1，2，…存在，稱其為X的k階原點(diǎn)矩，簡(jiǎn)稱k階矩；若存在，稱其為X的k階中心矩；若存在，稱其為X和Y的k+l階混合矩；若存在，稱它為X和Y的k+l階混合中心矩．4.3.3矩(1)X的k階原點(diǎn)矩:E(Xk)，k=1，2，…(2)X的k階中心矩:(3)X和Y的k+l階混合矩:(4)X和Y的k+l階混合中心矩:顯然，X的數(shù)學(xué)期望E(X)是X的一階原點(diǎn)矩，X的方差D(X)是X的二階中心矩，X和Y的協(xié)方差Cov(X,Y)=0是
14、X和Y的二階混合中心矩．【實(shí)驗(yàn)4-2】設(shè)X和Y分別表示在一分鐘內(nèi)通過(guò)某收費(fèi)站的小汽車數(shù)量和卡車數(shù)量，X和Y的聯(lián)合分布律如下：(1)期望E(X)、E(Y)、E(XY)(2)方差D(X)、D(Y)(3)協(xié)方差Cov(X，Y)(4)相關(guān)系數(shù)?XYYX0123400.050.040.010010.050.10.030.02020.030.050.150.050.02300.020.080.10.054000.020.050.08實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備：(1)函數(shù)SUMPRODUCT的使用格式：SUMPRODUCT(array1,array2,array3,...)功能：返回多個(gè)區(qū)域array1,
15、array2,array3,...對(duì)應(yīng)數(shù)值乘積之和．(2)函數(shù)MMULT的使用格式：MMULT(array1,array2)功能：返回兩數(shù)組的矩陣乘積．結(jié)果矩陣的行數(shù)與array1的行數(shù)相同，列數(shù)與array2的列數(shù)相同．實(shí)驗(yàn)步驟：(1)整理數(shù)據(jù)如圖4-5所示．圖4-5整理數(shù)據(jù)(2)計(jì)算邊緣概率P{X=xi}和P{Y=yj}在單元格G2中輸入公式：=SUM(B2:F2)，并將其復(fù)制到單元格區(qū)域G3:G6在單元格B7中輸入公式：=SUM(B2:B6)，并將其復(fù)制到單元格區(qū)域C7:F7(3)計(jì)算期望E(XY)首先在單元
