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《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)-協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)01》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、（1）定義：D（X）=1.設(shè)C是常數(shù),則D(C)=0;2.若k是常數(shù),則D(kX)=k2D(X);3.若X1與X2獨(dú)立，則D(X1+X2)=D(X1)+D(X2);復(fù)習(xí)：方差（2）計(jì)算：方法2:方法1：由定義（3）性質(zhì)：一般地：D(X1+X2)=D(X1)+D(X2)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}。(3)泊松分布:(1)(0-1)分布:D(X)=p(1-p)(2)二項(xiàng)分布:D(X)=np(1-p)D(X)=(4)正態(tài)分布:(5)均勻分布:D(X)=D(X)=(6)指數(shù)分布（4）常見分布的方差：(5)切比雪夫不等式設(shè)r.vX具有
2、均值E(X)=?,方差D(X)=?2，則對??>0,有不等式證明:根據(jù)數(shù)學(xué)期望與方差的性質(zhì):證明E(Y)=0,D(Y)=1P99T10：設(shè)E(X),D(X)均存在,且D(X)≠0通常把由r.vX構(gòu)造r.vY的過程叫做對r.vX標(biāo)準(zhǔn)化。注意:更重要的是要知道如何將一個隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)化.§3協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)Covarianceandcorrelationcoefficient對于一個二維隨機(jī)向量（X，Y），期望和方差只反映了它們各自的平均取值與相對于其均值的偏離程度，沒有反映出X與Y之間的相互關(guān)系。D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{[X-
3、E(X)][Y-E(Y)]}注意到公式若X、Y相互獨(dú)立,D(X+Y)=D(X)+D(Y)。E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=0，可以發(fā)現(xiàn)E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}這個數(shù)在一定程度上反映了X與Y之間的關(guān)系，稱為X與Y的協(xié)方差。一、協(xié)方差1、定義:設(shè)(X,Y)是一隨機(jī)向量，稱E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}為X與Y的協(xié)方差,記作Cov（X，Y）或?XY，即若X、Y相互獨(dú)立說明①對于r.vX,Y，D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)協(xié)方差是刻劃r.v
4、X與Y間取值的相互關(guān)系的數(shù)字特征.顯然:②意義:Cov(X,Y)=0,1)用定義式Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}2、計(jì)算方法2)用簡單公式Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)Cov(X,X)=D(X)YX-10 1-100例1設(shè)r.vX和Y的聯(lián)合分布律為求Cov(X,Y)解：用公式Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)①可求出(X,Y)關(guān)于X，Y的邊緣分布律X-103/82/83/81Y-103/82/83/81②∴Cov(X,Y)=0-0=0說明：雖然Cov(X,Y)=0，但即X與Y不獨(dú)立。3
5、、性質(zhì)ⅰ)Cov(X,Y)=Cov(Y,X);(對稱性)ⅱ)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),a,b是任意常數(shù)；ⅲ)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)注：協(xié)方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互間的關(guān)系，但它還受X與Y本身的系數(shù)影響.例如：Cov(10X,10Y)=100Cov(X,Y)為了克服這一缺點(diǎn)，將協(xié)方差標(biāo)準(zhǔn)化，即在計(jì)算協(xié)方差時，先對X與Y進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化.即:實(shí)際上，10X與10Y之間的關(guān)系和X與Y之間的關(guān)系應(yīng)一致。標(biāo)準(zhǔn)化的協(xié)方差稱為X，Y的相關(guān)系數(shù)二、相關(guān)系數(shù)(correlationcoeff
6、icient)設(shè)(X,Y)是一隨機(jī)向量，當(dāng)D(X)>0,D(Y)>0,則稱數(shù)值為X,Y的線性相關(guān)系數(shù)，簡稱相關(guān)系數(shù).注：1、定義:⑴相關(guān)系數(shù)也就是標(biāo)準(zhǔn)化的隨機(jī)變量X*，Y*的協(xié)方差。⑵ρXY是沒有單位的量，只與兩個r.v有關(guān)，能更好地反映X與Y之間的關(guān)系。2、性質(zhì)：相關(guān)系數(shù)刻劃了X和Y間“線性相關(guān)”的程度.將e視為關(guān)于a,b的二元函數(shù)，求駐點(diǎn)：解得性質(zhì)1）成立。對應(yīng)的誤差平方為性質(zhì)2）證明略。要使Y與X的某個線性函數(shù)a+bX最為接近,就是要找a,b使得誤差平方e值最小.證：e=E{[Y-(a+bX)]2}=E(Y2)+b2E(X2)+a2
7、-2bE(XY)+2abE(X)-2aE(Y)對任意的a,b,令刻畫了Y與a+bX的偏離程度（*）若=0，Y與X無線性關(guān)系;Y與X存在線性關(guān)系;若若0<
8、
9、<1,
10、
11、的值越接近于1,Y與X的線性相關(guān)程度越高;
12、
13、的值越接近于0,Y與X的線性相關(guān)程度越弱.ρ=0時，稱X和Y不相關(guān)。由（*）式知，ρXY的含義說明：1）對于隨機(jī)變量X,Y，下面事實(shí)是等價的2)X與Y相互獨(dú)立X與Y不相關(guān)X與Y不相關(guān),只說明X與Y之間沒有線性關(guān)系，但可以有非線性關(guān)系；但是，對于二維正態(tài)分布，獨(dú)立與不相關(guān)等價。即：若二維r.v③E(XY)=E(X)E(Y);即X與Y
14、不相關(guān)3、重要結(jié)論①Cov(X,Y)=0;②X與Y不相關(guān)；則X與Y相互獨(dú)立④D(X+Y)=D(X)+D(Y).而X與Y獨(dú)立是指X,Y之間既無線性關(guān)系，也無非線性關(guān)系，故“獨(dú)立”必然不相關(guān)，但反
