研究性課題：多面體歐拉定理的發(fā)現(xiàn)

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1、研究性課題：多面體歐拉定理的發(fā)現(xiàn)第一課時(shí)　歐拉定理（一）教學(xué)目標(biāo)：（一）教學(xué)知識(shí)點(diǎn)1.簡(jiǎn)單多面體的V、E、F關(guān)系的發(fā)現(xiàn).2.歐拉公式的猜想.3.歐拉公式的證明.（二）能力訓(xùn)練要求1.使學(xué)生能通過觀察具體簡(jiǎn)單多面體的V、E、F從中尋找規(guī)律.2.使學(xué)生能通過進(jìn)一步觀察驗(yàn)證所得的規(guī)律.3.使學(xué)生能從拓?fù)涞慕嵌日J(rèn)識(shí)簡(jiǎn)單多面體的本質(zhì).4.使學(xué)生能通過歸納得出關(guān)于歐拉公式的猜想.5.使學(xué)生了解歐拉公式的一種證明思路.（三）德育滲透目標(biāo)1.通過介紹數(shù)學(xué)家的業(yè)績(jī)，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)大師的獻(xiàn)身科學(xué)、勇于探索的科學(xué)研究精神、激發(fā)學(xué)生對(duì)科學(xué)的熱愛和對(duì)理想的追求.2.培養(yǎng)

2、學(xué)生尋求規(guī)律、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、認(rèn)識(shí)規(guī)律，并利用規(guī)律解決問題的能力.教學(xué)重點(diǎn)　　　歐拉公式的發(fā)現(xiàn).教學(xué)難點(diǎn)　　　使學(xué)生從中體會(huì)和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)大師研究數(shù)學(xué)的方法.教學(xué)方法　　　指導(dǎo)學(xué)生自學(xué)法首先通過問題1利用具體實(shí)物，從觀察入手，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)簡(jiǎn)單多面體V、E、F關(guān)系的感性認(rèn)識(shí)從中尋找規(guī)律，問題2讓學(xué)生作進(jìn)一步觀察、驗(yàn)證得出規(guī)律，問題3讓學(xué)生在認(rèn)識(shí)簡(jiǎn)單多面體的基礎(chǔ)上，通過歸納，得出關(guān)于歐拉公式的猜想，再通過問題4讓學(xué)生了解歐拉公式的證明思路，即從理論上探索對(duì)發(fā)現(xiàn)規(guī)律的證明.以上4個(gè)問題逐步深入地展開，旨在不僅使學(xué)生在知識(shí)上有新的收獲，同時(shí)應(yīng)體會(huì)和學(xué)習(xí)研究數(shù)學(xué)的思想

3、和方法.教學(xué)過程情境設(shè)置歐拉瑞士著名的數(shù)學(xué)家，科學(xué)巨人，師從數(shù)學(xué)家約翰·伯努利，有驚人的記憶力，是數(shù)學(xué)史上的最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，他所寫的著作達(dá)865部（篇），28歲右眼失明，1766年，左眼又失明了，1771年，圣彼得堡一場(chǎng)大火，秧及歐拉的住宅，歐拉雖然幸免于難，可他的藏書及大量的研究成果都化為灰燼。種種磨難，并沒有把歐拉搞垮。大火以后他立即投入到新的創(chuàng)作之中。資料被焚，他又雙目失明，在這種情況下，他完全憑著堅(jiān)強(qiáng)的意志和驚人的毅力，回憶所作過的研究。他總是把推理過程想得很細(xì)，然后口授，由他的長(zhǎng)子記錄。他用這種方法又發(fā)表了論文４００多篇以及多部專著，這

4、幾乎占他全部著作的半數(shù)以上，歐拉從19歲開始寫作，直到逝世，留下了浩如煙海的論文、著作，甚至在他死后，他留下的許多手稿還豐富了后47年的圣彼得堡科學(xué)院學(xué)報(bào)。10數(shù)學(xué)方面：他的論著幾乎涉及18世紀(jì)所有的數(shù)學(xué)分支.比如，在初等數(shù)學(xué)中，歐拉首先將符號(hào)正規(guī)化，如f（x）表示函數(shù)，e表示自然對(duì)數(shù)的底，a、b、c表示△ABC的三邊等；數(shù)學(xué)中的歐拉公式、歐拉方程、歐拉常數(shù)、歐拉方法、歐拉猜想等.其中歐拉公式的一個(gè)特殊公式,將數(shù)學(xué)上的5個(gè)常數(shù)0、1、i、e、π聯(lián)在一起；再如就是多面體的歐拉定理V－E+F=2，V、E、F分別代表一簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)、棱和面的數(shù)目物理

5、方面：他創(chuàng)立了分析力學(xué)、剛體力學(xué)，研究和發(fā)展了彈性理論、振動(dòng)理論以及材料力學(xué)，在光學(xué)上也有杰出的貢獻(xiàn)，古典力學(xué)的基礎(chǔ)是牛頓奠定的，而歐拉則是其主要建筑師，他研究了天文學(xué)，并與達(dá)朗貝爾、拉格朗日一起成為天體力學(xué)的創(chuàng)立者，流體力學(xué)的創(chuàng)始人。其它方面：歐拉在搞科學(xué)研究的同時(shí)，還把數(shù)學(xué)應(yīng)用到實(shí)際之中，為俄國(guó)政府解決了很多科學(xué)難題，為社會(huì)作出了重要的貢獻(xiàn)。如菲諾運(yùn)河的改造方案，宮延排水設(shè)施的設(shè)計(jì)審定，為學(xué)校編寫教材，幫助政府測(cè)繪地圖；在度量衡委員會(huì)工作時(shí)，參加研究了各種衡器的準(zhǔn)確度。另外，他還為科學(xué)院機(jī)關(guān)刊物寫評(píng)論并長(zhǎng)期主持委員會(huì)工作。他不但為科學(xué)院做大量

6、工作，而且擠出時(shí)間在大學(xué)里講課，作公開演講，編寫科普文章，為氣象部門提供天文數(shù)據(jù)，協(xié)助建筑單位進(jìn)行設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)的力學(xué)分析，他把自己所建立的理想流體運(yùn)動(dòng)的基本方程用于人體血液的流動(dòng)，從而在生物學(xué)上添上了他的貢獻(xiàn)，又以流體力學(xué)、潮汐理論為基礎(chǔ)，豐富和發(fā)展了船舶設(shè)計(jì)制造及航海理論。今天我們就去體驗(yàn)當(dāng)年的數(shù)學(xué)大師是如何運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和方法發(fā)現(xiàn)歐拉公式并給予理論上的推理證明等研究活動(dòng)，希望大家在活動(dòng)中要充分展開自己的想象，展開熱烈的討論互相進(jìn)行數(shù)學(xué)交流.探索研究問題1：下列共有五個(gè)正多面體，分別數(shù)出它們的頂點(diǎn)數(shù)V、面數(shù)F和棱數(shù)E，并填表1正多面體頂點(diǎn)數(shù)V面數(shù)F棱

7、數(shù)E正四面體446正六面體8612正八面體681210正十二面體.201230正二十面體122030觀察表中填出的數(shù)據(jù)，請(qǐng)找出頂點(diǎn)數(shù)V、面數(shù)F及棱數(shù)E之間的規(guī)律。教師巡視指導(dǎo)，如正十二面體，先定面數(shù)E＝12；再定棱數(shù)，每個(gè)面有5條棱，共有12×5＝60條，由于每條棱都是兩個(gè)面的公共邊，所以上面的計(jì)算每條棱被算過兩次，于是棱數(shù)E＝60/2＝30；最后算頂點(diǎn)數(shù)，每個(gè)頂點(diǎn)處連有三條棱，所以它共有3V條棱，又因?yàn)槊織l棱連著兩個(gè)頂點(diǎn)，所以上面的計(jì)算每條棱被算過兩次，因此實(shí)際上只有3V/2條棱，即E＝3V/2，所以V＝20。表1中多面體的面數(shù)F都隨頂點(diǎn)數(shù)目V

8、的增大而增大嗎？不一定.請(qǐng)舉例說明.如八面體和立方體的頂點(diǎn)數(shù)由6增大到8，而面數(shù)由8減小到6.此時(shí)棱的數(shù)目呢？棱數(shù)都是一樣的.所以我們得