專題 等差數(shù)列與等比數(shù)列

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1、專題4等差數(shù)列與等比數(shù)列★★★高考在考什么【考題回放】1．設(shè)數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)a1＝－7，且滿足an＋1＝an＋2（n∈N），則a1＋a2＋……＋a17＝153.2．設(shè)Sn是等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，若＝，則＝(A)（A）（B）（C）（D）3．已知數(shù)列、都是公差為1的等差數(shù)列，其首項(xiàng)分別為、，且，．設(shè)（），則數(shù)列的前10項(xiàng)和等于（　C?。ˋ）55　　　?。˙）70　　　　?。–）85　　　　　（D）1004．在等比數(shù)列中，，前項(xiàng)和為，若數(shù)列也是等比數(shù)列，則等于（C）(A)(B)(C)(D)5.若干個(gè)能唯一確定一個(gè)數(shù)列的量稱為該數(shù)列的“

2、基本量”．設(shè){an}是公比為q的無窮等比數(shù)列，下列{an}的四組量中：①S1與S2；②a2與S3；③a1與an；④q與an．其中一定能成為該數(shù)列“基本量”的是第①④組．(寫出所有符合要求的組號(hào))6．設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)，且，記．（I）求a2，a3；（II）判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；（III）（理）求．【專家解答】（I）a2＝a1+=a+，a3=a2=a+；（II）∵a4=a3+=a+，∴a5=a4=a+，所以b1=a1－=a－，b2=a3－=(a－)，b3=a5－=(a－)，《專題4等差數(shù)列與等比數(shù)列》第116頁（共

3、116頁）猜想：{bn}是公比為的等比數(shù)列．證明如下：因?yàn)閎n+1＝a2n+1－=a2n－=(a2n－1－)=bn，(n∈N*)所以{bn}是首項(xiàng)為a－，公比為的等比數(shù)列·（III）（理）．★★★高考要考什么【考點(diǎn)透視】本專題主要涉及等差（比）數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和及其性質(zhì)，數(shù)列的極限、無窮等比數(shù)列的各項(xiàng)和．【熱點(diǎn)透析】高考對(duì)本專題考查比較全面、深刻，每年都不遺漏．其中小題主要考查間相互關(guān)系，呈現(xiàn)“小、巧、活”的特點(diǎn)；大題中往往把等差（比）數(shù)列與函數(shù)、方程與不等式，解析幾何等知識(shí)結(jié)合，考查基礎(chǔ)知識(shí)、思想方法的運(yùn)用，對(duì)思維能力要求較

4、高，注重試題的綜合性，注意分類討論．★★★突破重難點(diǎn)【范例1】已知等差數(shù)列前三項(xiàng)為a，4，3a，前n項(xiàng)和為Sn，Sk=2550．(Ⅰ)求a及k的值；(Ⅱ)求(…)．解析（Ⅰ）設(shè)該等差數(shù)列為｛an｝，則a1=a，a2=4，a3=3a，Sk=2550．由已知得a＋3a=2×4，解得a1=a=2，公差d=a2－a1=2．由得，解得k=50．∴a=2，k=50．（Ⅱ）由得Sn=n(n＋1)，∴，∴．【點(diǎn)睛】錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法等等是常用的數(shù)列求和方法．《專題4等差數(shù)列與等比數(shù)列》第116頁（共116頁）【文】是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知的等比中項(xiàng)

5、為，的等差中項(xiàng)為1，求數(shù)列的通項(xiàng)．解析由已知得，即，解得或或經(jīng)驗(yàn)證或均滿足題意，即為所求．【點(diǎn)睛】若是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，則數(shù)列也是等差數(shù)列．本題是以此背景設(shè)計(jì)此題．【范例2】已知正項(xiàng)數(shù)列{an}，其前n項(xiàng)和Sn滿足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an.解析∵10Sn=an2+5an+6，①∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3．又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)，②由①－②得10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(a

6、n－an－1－5)=0∵an+an－1>0，∴an－an－1=5(n≥2)．當(dāng)a1=3時(shí)，a3=13，a15=73．a(chǎn)1，a3，a15不成等比數(shù)列∴a1≠3;當(dāng)a1=2時(shí)，a3=12，a15=72，有a32=a1a15，∴a1=2，∴an=5n－3．【點(diǎn)睛】求數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)列的基本問題，一般有三種類型：（1）已知數(shù)列是等差或等比數(shù)列，求通項(xiàng)，破解方法：公式法或待定系數(shù)法；（2）已知Sn，求通項(xiàng)，破解方法：利用Sn-Sn-1=an，但要注意分類討論，本例的求解中檢驗(yàn)必不可少，值得重視；（3）已知數(shù)列的遞推公式，求通項(xiàng)，破解方法：猜想證明

7、法或構(gòu)造法?！疚摹恳阎缺葦?shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求、的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．解析（1）當(dāng)時(shí)，．而為等比數(shù)列，得，即，從而．又．（2），《專題4等差數(shù)列與等比數(shù)列》第116頁（共116頁）兩式相減得，因此，．【范例3】下表給出一個(gè)“三角形數(shù)陣”：，，，…………已知每一列的數(shù)成等差數(shù)列；從第三行起，每一行的數(shù)成等比數(shù)列，每一行的公比都相等．記第i行第j列的數(shù)為aij(i≥j，i，j∈N*)．(1)求a83；(2)試寫出aij關(guān)于i，j的表達(dá)式；(3)記第n行的和為An，求解析（1）由題知成等差數(shù)列，且，所以公差。又

8、成等比數(shù)列，且．又公比都相等，∴每行的公比是．∴．?。?）由（1）知，，∴．　（3）．【點(diǎn)睛】在新穎背景——數(shù)表中運(yùn)用數(shù)列知識(shí)．【文】在等比數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和為Sn，若Sm，Sm+2，S