有限元法分析結(jié)果的誤差影響

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1、有限元法分析結(jié)果的誤差影響本文指出了有限元法分析結(jié)果的誤差影響存在于其每一操作步驟，并對(duì)這些誤差進(jìn)行了歸類分析。隨后，結(jié)合工程實(shí)例，通過(guò)改變單元類型（形狀和精度）、調(diào)整單元尺寸大小和應(yīng)用多種分網(wǎng)方式，顯示理想化誤差和離散化誤差對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響。最后，提出建議和今后的研究方向。　　一、引言???有限元法分析起源于50年代初桿系結(jié)構(gòu)矩陣的分析。隨后，Clough于1960年第一次提出了“有限元法”的概念。其基本思想是利用結(jié)構(gòu)離散化的概念，將連續(xù)介質(zhì)體或復(fù)雜結(jié)構(gòu)體劃分成許多有限大小的子區(qū)域的集合體，每一個(gè)子區(qū)

2、域稱為單元（或元素），單元的集合稱為網(wǎng)格，實(shí)際的連續(xù)介質(zhì)體（或結(jié)構(gòu)體）可以看成是這些單元在它們的節(jié)點(diǎn)上相互連接而組成的等效集合體；通過(guò)對(duì)每個(gè)單元力學(xué)特性的分析，再將各個(gè)單元的特性矩陣組集成可以建立整體結(jié)構(gòu)的力學(xué)方程式，即力學(xué)計(jì)算模型；按照所選用計(jì)算程序的要求，輸入所需的數(shù)據(jù)和信息，運(yùn)用計(jì)算機(jī)進(jìn)行求解。???當(dāng)前，有限元方法/理論已經(jīng)發(fā)展的相當(dāng)成熟和完善，而計(jì)算機(jī)技術(shù)的不斷革新，又在很大程度上推進(jìn)了有限元法分析在工程技術(shù)領(lǐng)域的應(yīng)用。然而，如此快速地推廣和應(yīng)用使得人們很容易忽視一個(gè)前提，即有限元分析軟件提供

3、的計(jì)算結(jié)果是否可靠、滿足使用精度的前提，是合理地使用軟件和專業(yè)的工程分析。只有這兩者很好地結(jié)合，我們才能得到工程上切實(shí)可信的計(jì)算結(jié)果，否則只會(huì)在工程上造成極大的浪費(fèi)，甚至帶來(lái)嚴(yán)重的工程事故。二、誤差分析???有限元法分析一般包括四個(gè)步驟：物理模型的簡(jiǎn)化、數(shù)學(xué)模型的程序化、計(jì)算模型的數(shù)值化和計(jì)算結(jié)果的分析。每一個(gè)步驟在操作過(guò)程中都或多或少地引入了誤差，這些誤差的累積最終可能會(huì)對(duì)計(jì)算結(jié)果造成災(zāi)難性的影響，進(jìn)而蒙蔽我們的認(rèn)識(shí)和判斷。???第一步，物理模型的簡(jiǎn)化，主要有幾何實(shí)體、連接/裝配關(guān)系、環(huán)境邊界條件和材

4、料特性的簡(jiǎn)化，進(jìn)而構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。這些簡(jiǎn)化或者說(shuō)假設(shè)，是必要的，也是必須的，但是也由此在模型中引入了理想化誤差（idealizationerror）。有些理想化誤差是非良性奇異的，比如幾何實(shí)體簡(jiǎn)化時(shí)細(xì)節(jié)部位上忽略小的圓/倒角，連接/裝配關(guān)系簡(jiǎn)化時(shí)忽略焊縫和螺栓連接等，往往導(dǎo)致模型發(fā)生結(jié)構(gòu)方面（諸如L形截面的角點(diǎn)）的奇異，即結(jié)構(gòu)奇異（奇異的數(shù)學(xué)定義是在某一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)無(wú)窮）；有些理想化誤差是良性奇異的，比如邊界條件簡(jiǎn)化時(shí)添加集中載荷和孤立點(diǎn)約束，導(dǎo)致模型發(fā)生邊界條件的奇異，即邊界奇異；其它理想化誤差，比如幾何實(shí)

5、體簡(jiǎn)化時(shí)三維殼/面體簡(jiǎn)化為二維殼/面、三維梁簡(jiǎn)化為一維梁，邊界條件簡(jiǎn)化時(shí)非均勻溫度場(chǎng)和壓力場(chǎng)簡(jiǎn)化為均勻溫度場(chǎng)和壓力場(chǎng)等，只會(huì)影響計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確度，不會(huì)引發(fā)計(jì)算結(jié)果方面的數(shù)值奇異，即應(yīng)力奇異和位移奇異等。理想化誤差是在有限元法分析開(kāi)始之前引入的，因此我們不可能通過(guò)改進(jìn)有限元分析技術(shù)來(lái)達(dá)到消除其的目的，而只能通過(guò)修改數(shù)學(xué)模型本身來(lái)實(shí)現(xiàn)消除其的目的。???第二步，數(shù)學(xué)模型的程序化，主要有幾何實(shí)體的單元離散、單元網(wǎng)格的裝配連接、模型環(huán)境邊界條件的添加，進(jìn)而構(gòu)建計(jì)算模型。幾何實(shí)體的離散，和單元類型（形狀和精度）、

6、單元尺寸以及分網(wǎng)方式的選擇有關(guān)，不可避免地會(huì)引入離散化誤差（discretizationerror）。離散化誤差，是根植于有限元法分析本身的，因此只能通過(guò)改進(jìn)有限元分析技術(shù)或者技巧來(lái)盡力消除/減小這方面的誤差，比如采用規(guī)則化的單元形狀避免單元在形狀上產(chǎn)生奇異（即單元奇異）、提高單元精度和增加網(wǎng)格密度減小計(jì)算方面的誤差等方法。單元網(wǎng)格的裝配連接一般采用MPC多點(diǎn)約束法，因而會(huì)引入人為誤差（artificialerror），這方面誤差的消除更多是需要長(zhǎng)期計(jì)算經(jīng)驗(yàn)的積累。模型環(huán)境邊界條件的添加，其誤差影響依賴

7、于第一步的理想化簡(jiǎn)化。???第三步，計(jì)算模型的數(shù)值化，主要是用數(shù)值計(jì)算方法（程序求解器）求解、逼近真實(shí)的解析值，因而必然存在數(shù)值化誤差（numericalerror）。數(shù)值計(jì)算方法的精度（非人為可控）越高，計(jì)算結(jié)果的誤差就越小，但計(jì)算的工作量也越大。實(shí)際考慮到計(jì)算精度和計(jì)算資源的利用，必然要做一個(gè)適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)一。???第四步，計(jì)算結(jié)果的分析，主要是利用數(shù)值計(jì)算結(jié)果來(lái)分析、評(píng)判，或預(yù)知真實(shí)的物理模型，由此也存在著認(rèn)知誤差（recognizederror）。認(rèn)知誤差的消除，一方面需要真實(shí)物理試驗(yàn)的指導(dǎo)，另一方面

8、依賴于分析人員的工程經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知能力。同時(shí)，不要忘記了我們的前提假設(shè)，即第一步物理模型的簡(jiǎn)化，或假設(shè)。???下文，將通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單的例子來(lái)說(shuō)明理想化誤差和離散化誤差對(duì)有限元法分析結(jié)果的影響。計(jì)算時(shí)，采用有限元數(shù)值分析軟件ANSYS11.0版本，32位操作系統(tǒng)軟件WindowsXP版本，HPxw4200服務(wù)器硬件平臺(tái)，保證了程序求解器及其運(yùn)行環(huán)境的統(tǒng)一，以消除數(shù)值化誤差。三、實(shí)例分析?圖1起豎支耳模型???圖1中所示為工程上最常見(jiàn)的起豎支耳模型，