王翠萍1.1變化率與導(dǎo)數(shù)教案

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1、§1.1.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義王翠萍教材分析：這一節(jié)課是導(dǎo)數(shù)概念的延伸，是導(dǎo)數(shù)知識的重要內(nèi)容。探究和理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，是在學(xué)習了導(dǎo)數(shù)的變化率和概念的基礎(chǔ)上，結(jié)合函數(shù)圖象，利用割線向曲線逐步逼近的方法和以直代曲的思想，給切線新的定義：即導(dǎo)數(shù)的幾何意義。課時分配：1課時。教學(xué)目標：1．知識與技能目標：了解平均變化率與割線斜率之間的關(guān)系；理解曲線的切線的概念；通過函數(shù)的圖像直觀地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，并會用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題；2．過程與方法目標：培養(yǎng)學(xué)生分析、抽象、概括等思維能力；利用割線向曲線逐步逼近的方法和以直代曲的思想，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的思維習慣；3．情感、態(tài)度與價值觀：通過函數(shù)的圖像直觀地理解導(dǎo)數(shù)的

2、幾何意義；培養(yǎng)學(xué)生不斷發(fā)現(xiàn)、探索新知識的精神，引導(dǎo)學(xué)生從有限中認識無限，感受數(shù)學(xué)思想的魅力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣。教學(xué)重點：曲線的切線的概念、切線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義；教學(xué)難點：發(fā)現(xiàn)、理解及應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義。教學(xué)過程：一．創(chuàng)設(shè)情景（一）平均變化率、割線的斜率（上一節(jié)講過）（二）瞬時速度、導(dǎo)數(shù)（上一節(jié)講過）我們知道，導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率，反映了函數(shù)y=f(x)在x=x0附近的變化情況，導(dǎo)數(shù)的幾何意義是什么呢？二．新課講授（一）曲線的切線及切線的斜率：如圖3.1-2，當沿著曲線趨近于點時，割線的變化趨勢是什么？圖3.1-2我們發(fā)現(xiàn),當點沿著曲線無限接近點P即Δx→0時

3、,割線趨近于確定的位置，這個確定位置的直線PT稱為曲線在點P處的切線.問題：⑴割線的斜率與切線PT的斜率有什么關(guān)系？⑵切線PT的斜率為多少？容易知道，割線的斜率是,當點沿著曲線無限接近點P時，無限趨近于切線PT的斜率，即說明：（1）設(shè)切線的傾斜角為,那么當Δx→0時,割線PQ的斜率,稱為曲線在點P處的切線的斜率.這個概念:①提供了求曲線上某點切線的斜率的一種方法;②切線斜率的本質(zhì)—函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù).（2）曲線在某點處的切線:1)與該點的位置有關(guān);2)要根據(jù)割線是否有極限位置來判斷與求解.若有極限,則在此點有切線,且切線是唯一的;若不存在,則在此點處無切線;3)曲線的切線,并不一定與曲線只有一個交

4、點,可以有多個,甚至可以無窮多個.（二）導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)等于在該點處的切線的斜率，即說明：求曲線在某點處的切線方程的基本步驟:①求出P點的坐標;②求出函數(shù)在點處的變化率，得到曲線在點p的切線的斜率；③利用點斜式求切線方程.（三）導(dǎo)函數(shù)：由函數(shù)f(x)在x=x0處求導(dǎo)數(shù)的過程可以看到,當時,是一個確定的數(shù)，那么,當x變化時,便是x的一個函數(shù),我們叫它為f(x)的導(dǎo)函數(shù).記作：或，即:注：在不致發(fā)生混淆時，導(dǎo)函數(shù)也簡稱導(dǎo)數(shù).（四）函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)之間的區(qū)別與聯(lián)系。1）函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)，就是在該點的函數(shù)的改變量與自變量的改變量之比的極限，它是一個常數(shù)

5、，不是變數(shù)。2）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是指某一區(qū)間內(nèi)任意點x而言的，就是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)3）函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo)函數(shù)在處的函數(shù)值，這也是求函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)的方法之一。設(shè)計意圖：通過復(fù)習回顧、分析討論、動手實踐，使學(xué)生經(jīng)歷探究“導(dǎo)數(shù)的幾何意義”的構(gòu)建過程，從而準確理解“導(dǎo)數(shù)的幾何意義”，掌握“數(shù)形結(jié)合、類比探討”的數(shù)學(xué)思想方法。三．典例分析例1:（1）求曲線y=f(x)=x2+1在點P(1,2)處的切線方程.（2）求函數(shù)y=3x2在點處的導(dǎo)數(shù)及切線方程。（3）求函數(shù)f(x)=在附近的平均變化率，并求出在該點處的導(dǎo)數(shù)．思路分析：求切線方程，在知道切點的情況下，求出斜率即可。解：（1）k=,所以，所求切

6、線的斜率為2，因此，所求的切線方程為即（2）因為所以，所求切線的斜率為6，因此，所求的切線方程為即（3）[來源:學(xué)#科#網(wǎng)]設(shè)計設(shè)計意圖：結(jié)合具體函數(shù)，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會求過曲線上一點的切線的斜率。求切線方程的基本方法和步驟比較固定，但因為函數(shù)的不同，運算的難度也不同。例2．（課本例2）如圖3.1-3，它表示跳水運動中高度隨時間變化的函數(shù)，根據(jù)圖像，請描述、比較曲線在、、附近的變化情況．思路分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，曲線在某一點的瞬時變化率解：我們用曲線在、、處的切線，刻畫曲線在上述三個時刻附近的變化情況．（1）當時，曲線在處的切線平行于軸，所以，在附近曲線比較平坦，幾乎沒有升降．（2）當

7、時，曲線在處的切線的斜率，所以，在附近曲線下降，即函數(shù)在附近單調(diào)遞減．（3）當時，曲線在處的切線的斜率，所以，在附近曲線下降，即函數(shù)在附近單調(diào)遞減．從圖3.1-3可以看出，直線的傾斜程度小于直線的傾斜程度，這說明曲線在附近比在附近下降的緩慢．設(shè)計意圖：通過本例，學(xué)生學(xué)習了導(dǎo)函數(shù)的概念，明確了函數(shù)f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)之間的區(qū)別與聯(lián)系：函數(shù)在一點x0處的導(dǎo)數(shù)就是在該點的函數(shù)值的該變量與自變量