數(shù)值分析簡(jiǎn)述及求解應(yīng)用

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1、數(shù)值分析簡(jiǎn)述及求解應(yīng)用摘要：數(shù)值分析是研究分析用計(jì)算機(jī)求解數(shù)學(xué)計(jì)算問題的數(shù)值計(jì)算方法及其理論的學(xué)科，本文主要介紹了數(shù)值分析的一些求解方法的原理和過程，并應(yīng)用在電流回路和單晶硅提拉過程中的，進(jìn)一步體現(xiàn)數(shù)值分析的實(shí)際應(yīng)用。關(guān)鍵字：解方程組插值法牛頓法一、引言隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，提出了大量復(fù)雜的數(shù)值計(jì)算問題，在建立電子計(jì)算機(jī)成為數(shù)值計(jì)算的主要工具以后，它以數(shù)字計(jì)算機(jī)求解數(shù)學(xué)問題的理論和方法為研究對(duì)象。有可靠的理論分析，要有數(shù)值實(shí)驗(yàn)，并對(duì)計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行誤差分析。數(shù)值分析的主要內(nèi)容包括插值法，函數(shù)逼近，曲線擬和，數(shù)值積分，數(shù)值微分，解線性方程組的直接方法

2、，解線性方程組的迭代法，非線性方程求根，常微分方程的數(shù)值解法。運(yùn)用數(shù)值分析解決問題的過程包括：實(shí)際問題→數(shù)學(xué)建?！鷶?shù)值計(jì)算方法→程序設(shè)計(jì)→上機(jī)計(jì)算求出結(jié)果。在自然科學(xué)研究和工程技術(shù)中有許多問題可歸結(jié)為求解方程組的問題,方程組求解是科學(xué)計(jì)算中最常遇到的問題。如在應(yīng)力分析、電路分析、分子結(jié)構(gòu)、測(cè)量學(xué)中都會(huì)遇到解方程組問題。在很多廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)問題的數(shù)值方法中，如三次樣條、最小二乘法、微分方程邊值問題的差分法與有限元法也都涉及到求解方程組。在工程中常會(huì)遇到求解線性方程組的問題，解線性方程組的方法有直接法和迭代法，直接法就是經(jīng)過有限步算術(shù)運(yùn)算，可求的線

3、性方程組精確解的方法（若計(jì)算過程沒有舍入誤差），但實(shí)際猶如舍入誤差的存在和影響，這種方法也只能求得近似解，這類方法是解低階稠密矩陣方程組級(jí)某些大型稀疏矩陣方程組的有效方法。直接法包括高斯消元法，矩陣三角分解法、追趕法、平方根法。迭代法就是利用某種極限過程去逐步逼近線性方程組精確解的方法。將方程組的解看作是某極限過程的極限值，且計(jì)算這一極限值的每一步是利用前一步所得結(jié)果施行相同的演算步驟而進(jìn)行。迭代法具有需要計(jì)算機(jī)的存儲(chǔ)單元少，程序設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單，原始系數(shù)矩陣在計(jì)算過程始終不變等優(yōu)點(diǎn)，但存在收斂性級(jí)收斂速度問題。迭代法是解大型稀疏矩陣方程組（尤其是微分

4、方程離散后得到的大型方程組）的重要方法。迭代法包括Jacobi法SOR法、SSOR法等多種方法。非線性是實(shí)際問題中經(jīng)常用到出現(xiàn)的并在科學(xué)和工程中的低位也越來(lái)越重要，很多線性模型都是在一定條件下由非線性簡(jiǎn)化得到的。所以往往需要非線性的研究。非線性的數(shù)值解法有牛頓法，迭代收斂的加速解法，弦解法和拋物線法等。還有很多問題都可用常微分方程的定解來(lái)描述，主要有處置問題和邊值問題。常微分方程是描述連續(xù)變化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，微分方程的求解是確定滿足給定方程的可微函數(shù)y(x)。下面就數(shù)值分析中常用的一些方法和實(shí)例進(jìn)行闡述。二、數(shù)值分析中的一些方法1、插值法許多實(shí)際問

5、題都用y=f(x)來(lái)表示，有的函數(shù)雖然有解析式，但由于計(jì)算復(fù)雜實(shí)用不方便，為了找一個(gè)既能反映函數(shù)的特性又便于計(jì)算的函數(shù)，我們利用插值法可以得到這個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)，插值法包括拉格朗日插值，牛頓插值，Hermite插值等多種方法。拉格朗日插值是n次多項(xiàng)式插值，其成功地用構(gòu)造插值基函數(shù)的方法解決了求n次多項(xiàng)式插值函數(shù)問題。牛頓插值也是n次多項(xiàng)式插值，它提出另一種構(gòu)造插值多項(xiàng)式的方法，與Lagrange插值相比，具有承襲性和易于變動(dòng)節(jié)點(diǎn)的特點(diǎn)。Hermite插值是利用未知函數(shù)f(x)在插值節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值及導(dǎo)數(shù)值來(lái)構(gòu)造插值多項(xiàng)式的,起其提法為:給定n+1個(gè)互異

6、的節(jié)點(diǎn)x0,x1,……,xn上的函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值。2、解線性方程組的方法關(guān)于線性代數(shù)方程組的數(shù)值解法一般分為兩大類：直接法和迭代法。例如用高斯消元法解線性方程組，先通過一系列的加減消元運(yùn)算，也就是代數(shù)中的加減消去法，以使A對(duì)角線以下的元素化為零，將方程組化為上三角矩陣；然后，再逐一回代求解出x向量?，F(xiàn)舉例說明如下：第一步：消元過程將(1)/3使x1的系數(shù)化為1,再將(2)、(3)式中x1的系數(shù)都化為零，即由(2)-2×(1)(1)得由(3)-4×(1)(1)得將(2)(1)除以2/3，使x2系數(shù)化為1得再將(3)(1)式中x2系數(shù)化為零，由(3)

7、(1)-(-14/3)*(2)(2)得將(3)(2)除以18/3，使x3系數(shù)化為1，得經(jīng)消元后，得到如下三角代數(shù)方程組：第二步：回代過程由(3)(3)得x3=1,將x3代入(2)(2)得x2=-2,將x2、x3代入(1)(1)得x2=1,所以，本題解為[x]=[1,2,-1]T第三步：用矩陣演示進(jìn)行消元過程先將方程寫成增廣矩陣的形式然后對(duì)矩陣進(jìn)行初等行變換，再將增廣矩陣變換成上三角矩陣，即主對(duì)角線全為1，左下三角矩陣全為0，形式如下：即原方程組被等價(jià)轉(zhuǎn)化成為上三角方程組，然后，逐步回代得原方程組的解即可。3、解非線性方程組的方法解非線性方程組的

8、方法包括牛頓法，迭代收斂的加速解法，弦解法和拋物線法等牛頓法實(shí)質(zhì)是一種非線性方程逐步歸結(jié)為線性方程來(lái)求解的，牛頓迭代法原理如下：設(shè)已知方程f(x)=0