定積分教案2014.2

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1、教案第5章積分的概念及計算5.1定積分的概念與性質5.1.1兩個引例1．曲邊梯形的面積曲邊梯形定義：由直線及曲線所圍成的圖形稱為曲邊梯形。求曲邊梯形的面積方法：（1）分割任取分點，把區(qū)間分成個子區(qū)間，子區(qū)間長度為。（2）近似在子區(qū)間上任取一點，則小曲邊梯形面積可近似表示為。（3）求和將個小曲邊梯形近似面積相加，則曲邊梯形面積的近似為。（4）極限令，則。2．變速直線運動的路程設物體作直線運動，速度，求這段時間內物體所經(jīng)過的路程S。求路程方法：（1）分割任取分點，把區(qū)間分成個子區(qū)間，子區(qū)間長度為。（2）近似74教案在子區(qū)間中可看做勻速直線運動，則在

2、其上任取一點，則在子區(qū)間中路程可表示為。（3）求和將個子區(qū)間路程相加，則總路程可近似為。（4）極限當時，令，則。5.1.2定積分定義1.定義：設函數(shù)在區(qū)間上有界，在中任意插入若干個分點將區(qū)間分成子小區(qū)間，各子區(qū)間的長度為，在每個子區(qū)間上任取一個點，作的和式，令當時上式極限存在，則稱這個極限為函數(shù)在區(qū)間上的定積分，記作其中為被積函數(shù)，為被積表達式，為積分變量，為積分下限，為積分上限。說明：（1）由定積分的定義可知：曲邊梯形的面積為變速直線運動的路程為74教案（2）定積分的值只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關，與區(qū)間分法和任取函數(shù)值無關，與積分變量的字母選

3、擇無關，即（3）當時，2.定理定理1：設在區(qū)間上連續(xù)，則在上可積。定理2：設在區(qū)間上有界，且只存在有限個第一類間斷點，則在上可積。3.幾何意義若，則；若，則若在區(qū)間上有正有負，則積分值等于在軸上方部分與下方部分面積差。例：利用定義計算定積分解：幾何上此定積分表示半徑為1的圓第一象限的面積因此5.1.3定積分的性質性質1：性質2：性質3：注：不論在內或外等式均成立性質4：如果在區(qū)間上，則性質5：如果在區(qū)間上，則性質6：若函數(shù)在區(qū)間上的最大值及最小值，則74教案5.2不定積分的概念及性質教學過程5.2.1、導入新課前面我們已經(jīng)研究了一元函數(shù)的微分學

4、，而在實際問題中，往往會遇到相反的問題。比如：已知某質點以速度作變速直線運動，求該質點的運動方程；又如：已知一過原點的平面曲線上任一點處的切線斜率為，求該曲線的方程。這兩個問題都可歸結為同一類問題——已知某一個函數(shù)，求函數(shù)，使.象這樣的問題就是積分學所要研究的基本問題.本章主要講述不定積分的概念、性質及其基本積分方法.5.2.2、講授新課（一）不定積分的概念1、原函數(shù)的概念定義1設f(x)是定義在某區(qū)間的已知函數(shù)，若存在函數(shù)F(x)，使得F’(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,則稱F(x)為f(x)的一個原函數(shù).例如’=故lnx是的一個

5、原函數(shù)；是2x的一個原函數(shù)，但(+1)’=(+2)’=…=2x所以的原函數(shù)不是唯一的。關于原函數(shù)的幾點說明：1、如果f(x)在某區(qū)間連續(xù)，那么它的原函數(shù)一定存在。2、原函數(shù)的統(tǒng)一表達式有如下結論：定理若F(x)是f(x)的一個原函數(shù)，則F(x)+C是f(x)的全部原函數(shù)，其中C為任意常數(shù)2、不定積分的概念定義2函數(shù)f(x)的全體原函數(shù)叫做f(x)的不定積分，記為=F(x)+C，其中F/(x)=f(x)，例1求下列不定積分（1）；（2）。解：（1）因為=，所以=+C（2）因為x>0時,=,又x<0時,’==,所以=ln

6、x

7、+C.例2設曲線過點（

8、1，2）且斜率為2x，求曲線方程。解設所求曲線方程為y=y(x).74教案按題意有:=2x,故y==+C.又因為曲線過點（1，2），故代入上式2=1+C,于是所求方程為y=+1.例3設某物體以速度作直線運動，且當時，求運動規(guī)律。解：按題意有，即，再將條件時代入得故所求運動規(guī)律為。由積分定義知，積分運算與微分運算之間有如下的互逆關系：（1）或；（2）或對這兩個式子，要記熟、記準.（二）基本積分公式⑴（為常數(shù)），⑵，⑶，⑷，⑸，⑹，⑺，⑻，⑼，⑽⑾,⑿，74教案⒀，（三）不定積分的性質性質1被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可提到積分號外，即(k≠0)性質

9、2兩個函數(shù)代數(shù)和的積分，等于各函數(shù)積分的代數(shù)和，即.例4求下列不定積分：（1）；（2）。解（1）==；（2）=例5求下列不定積分：(1);(2).解(1)===74教案=例6求下列不定積分:(1);(2).解(1)=(2)sin==三、課堂練習思考題2習作題2題四、小結了解原函數(shù)、不定積分的概念及其性質，掌握不定積分的基本公式．熟記基本積分公式.五、布置作業(yè)習題五2、374教案5.3積分的基本公式5.3.1積分上限函數(shù)及其導數(shù)定義：設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且設為上的一點，則函數(shù)在子區(qū)間上的定積分存在，為了方便起見，將積分變量改寫為，則定積分為，記作

10、，即，稱為積分上限函數(shù)。定理：如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則積分上限函數(shù)在上有導數(shù)說明：是函數(shù)在上的一個原函數(shù)例1：求的導數(shù)解：例2：求的導數(shù)解：例3：求解