定積分的應(yīng)用教案

《定積分的應(yīng)用教案》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。

1、高等數(shù)學(xué)教案§6定積分的應(yīng)用第六章定積分的應(yīng)用教學(xué)目的1、理解元素法的基本思想；2、掌握用定積分表達(dá)和計(jì)算一些幾何量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立體體積）。3、掌握用定積分表達(dá)和計(jì)算一些物理量（變力做功、引力、壓力和函數(shù)的平均值等）。教學(xué)重點(diǎn)：1、計(jì)算平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立體體積。2、計(jì)算變力所做的功、引力、壓力和函數(shù)的平均值等。教學(xué)難點(diǎn)：1、截面面積為已知的立體體積。2、引力。§6.1定積分的元素法回憶曲邊梯形的面積:設(shè)y=f(x

2、)30(x?[a,b]).如果說積分,是以[a,b]為底的曲邊梯形的面積,則積分上限函數(shù)就是以[a,x]為底的曲邊梯形的面積.而微分dA(x)=f(x)dx表示點(diǎn)x處以dx為寬的小曲邊梯形面積的近似值DA?f(x)dx,f(x)dx稱為曲邊梯形的面積元素.以[a,b]為底的曲邊梯形的面積A就是以面積元素f(x)dx為被積表達(dá)式,以[a,b]為積分區(qū)間的定積分:.一般情況下,為求某一量U,先將此量分布在某一區(qū)間[a,b]上,分布在[a,x]上的量用函數(shù)U(x)表示,再求這一量的元素dU(x),設(shè)dU(x)=u(x)dx,然后以u(píng)(x)

3、dx為被積表達(dá)式,以[a,b]為積分區(qū)間求定積分即得.用這一方法求一量的值的方法稱為微元法(或元素法).重慶三峽學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案§6定積分的應(yīng)用§6.2定積分在幾何上的應(yīng)用一、平面圖形的面積1．直角坐標(biāo)情形設(shè)平面圖形由上下兩條曲線y=f上(x)與y=f下(x)及左右兩條直線x=a與x=b所圍成,則面積元素為[f上(x)-f下(x)]dx,于是平面圖形的面積為.類似地,由左右兩條曲線x=j左(y)與x=j右(y)及上下兩條直線y=d與y=c所圍成設(shè)平面圖形的面積為.例1計(jì)算拋物線y2=x、y=x2所圍成的圖形的面積.

4、解(1)畫圖.(2)確定在x軸上的投影區(qū)間:[0,1].(3)確定上下曲線:.(4)計(jì)算積分.例2計(jì)算拋物線y2=2x與直線y=x-4所圍成的圖形的面積.解(1)畫圖.(2)確定在y軸上的投影區(qū)間:[-2,4].(3)確定左右曲線:.(4)計(jì)算積分.例3求橢圓所圍成的圖形的面積.解設(shè)整個(gè)橢圓的面積是橢圓在第一象限部分的四倍,橢圓在第一象限部分在x軸上的投影區(qū)間為[0,a].因?yàn)槊娣e元素為ydx,所以.橢圓的參數(shù)方程為:x=acost,y=bsint,于是重慶三峽學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案§6定積分的應(yīng)用.2．極坐標(biāo)情形曲邊扇

5、形及曲邊扇形的面積元素:由曲線r=j(q)及射線q=a,q=b圍成的圖形稱為曲邊扇形.曲邊扇形的面積元素為.曲邊扇形的面積為.例4.計(jì)算阿基米德螺線r=aq(a>0)上相應(yīng)于q從0變到2p的一段弧與極軸所圍成的圖形的面積.解:.例5.計(jì)算心形線r=a(1+cosq)(a>0)所圍成的圖形的面積.解:.二、體積1．旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體.這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸.常見的旋轉(zhuǎn)體:圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球體.旋轉(zhuǎn)體都可以看作是由連續(xù)曲線y=f(x)、直線x=a、a=b及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一

6、周而成的立體.設(shè)過區(qū)間[a,b]內(nèi)點(diǎn)x且垂直于x軸的平面左側(cè)的旋轉(zhuǎn)體的體積為V(x),當(dāng)平面左右平移dx后,體積的增量近似為DV=p[f(x)]2dx,于是體積元素為dV=p[f(x)]2dx,旋轉(zhuǎn)體的體積為.例1連接坐標(biāo)原點(diǎn)O及點(diǎn)P(h,r)的直線、直線x=h及x軸圍成一個(gè)直角三角形.將它繞x軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個(gè)底半徑為r、高為h的圓錐體.計(jì)算這圓錐體的體積.解:直角三角形斜邊的直線方程為.所求圓錐體的體積為重慶三峽學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案§6定積分的應(yīng)用.例2.計(jì)算由橢圓所成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體(旋轉(zhuǎn)橢球體)的體積.

7、解:這個(gè)旋轉(zhuǎn)橢球體也可以看作是由半個(gè)橢圓及x軸圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的立體.體積元素為dV=py2dx,于是所求旋轉(zhuǎn)橢球體的體積為.例3計(jì)算由擺線x=a(t-sint),y=a(1-cost)的一拱,直線y=0所圍成的圖形分別繞x軸、y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積.解所給圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為=5p2a3.所給圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積是兩個(gè)旋轉(zhuǎn)體體積的差.設(shè)曲線左半邊為x=x1(y)、右半邊為x=x2(y).則=6p3a3.2．平行截面面積為已知的立體的體積設(shè)立體在x軸的投影區(qū)間為[a,b],過點(diǎn)x且垂直于x軸的平

8、面與立體相截,截面面積為A(x),則體積元素為A(x)dx,立體的體積為.例4一平面經(jīng)過半徑為R的圓柱體的底圓中心,并與底面交成角a.計(jì)算這平面截圓柱所得立體的體積.解:取這平面與圓柱體的底面的交線為x軸,底面上過圓中心、且垂直于x軸