資源描述：
《用“代入法”巧解一類對(duì)稱問題》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、論文：用“代入法”巧解一類對(duì)稱問題山東省臨朐第二中學(xué)盧國利郵編262605郵箱sdlqlgl@163.com地址山東省臨朐縣冶源鎮(zhèn)竹泉路10號(hào)4先看兩個(gè)例題：例1（2009年海南、寧夏高考數(shù)學(xué)試題第5題）已知圓C：，圓C與圓C:關(guān)于直線對(duì)稱，則圓的方程為（）（A）（B）（C）（D）多數(shù)參考用書和復(fù)習(xí)資料給出的解法如下：解法一：圓C:的圓心為C（-1，1），設(shè)圓C的圓心為C（a,b）,由題意知C與C關(guān)于直線對(duì)稱解得又圓C的半徑為1，所以圓C的方程為，故選（B）用下面方法解更簡(jiǎn)捷解法二：由直線得，將此式代入圓C:可得即便是圓C的
2、方程。例2圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程為（）（A）（B）（C）（D）解法一：將圓化為標(biāo)準(zhǔn)式，其圓心為（-2，2）。設(shè)對(duì)稱的圓的圓心坐標(biāo)為（a，b）,由題意知兩圓心關(guān)于直線對(duì)稱，所以有解得，又圓的半徑為2，故對(duì)稱的圓的方程為，故選（A）解法二：由直線得，將此式代入可得整理得即為所求圓的方程。解法一抓住“對(duì)稱”，著眼“中”“垂”。利用“中”即對(duì)稱點(diǎn)連線的中點(diǎn)在關(guān)于對(duì)稱的直線上；“垂”4即對(duì)稱點(diǎn)連線所在直線與關(guān)于對(duì)稱的直線相互垂直，列出兩個(gè)關(guān)系式求解，稱之為中垂法，它是解決該類題的一般方法。解法二將關(guān)于對(duì)稱的直線方程整理后直接代入圓的
3、方程，化簡(jiǎn)后即的對(duì)稱的圓的方程，稱之為代入法。比較兩解法，顯然代入法思維運(yùn)算量少，步驟更簡(jiǎn)捷，易于掌握。但是，這種解法是否具有一般性？如果將圓的方程推廣到任意圓，直線的方程推廣到斜率為1的任意直線，該方法是否成立？求圓關(guān)于直線的對(duì)稱的圓的方程。中垂法：圓的圓心為（a，b），設(shè)對(duì)稱的圓的圓心為）,由題意知兩圓心關(guān)于直線對(duì)稱解得，又因?yàn)閳A的半徑為r，對(duì)稱圓的方程為代入法：由直線得，代入圓的方程，整理得對(duì)稱圓的方程為。兩種解法解題過程合理，結(jié)果相同。由此知代入法對(duì)求“任意圓關(guān)于斜率為1的直線的對(duì)稱的圓的方程”問題均適用。同理可證明
4、，若將題目中的直線換為“斜率為-1”的直線，其它不變，該解法仍成立。下面舉例說明：例3求圓關(guān)于直線的對(duì)稱的圓的方程。代入法：由直線得,代入圓的方程得，故對(duì)稱的圓的方程為。綜上所述，對(duì)于求“任意圓關(guān)于斜率為1的直線的對(duì)稱的圓的方程”問題均可用代入法解決。如果將圓的方程換成其它曲線方程，結(jié)果會(huì)怎樣？例4求橢圓關(guān)于直線的對(duì)稱橢圓方程。中垂法：設(shè)所求橢圓上任意一點(diǎn)為P（x,y），由題意知P點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)Q在橢圓上，即有①所以解得②4將②代入①即得所求橢圓方程為代入法：由直線得代入橢圓，即得對(duì)稱橢圓方程為。兩解法結(jié)果仍相同。實(shí)際上
5、，凡是求“任意曲線關(guān)于斜率為1的直線的對(duì)稱曲線的方程”問題，均可用代入法解決。證明如下：求曲線關(guān)于直線的對(duì)稱的曲線方程。中垂法：設(shè)要求曲線上任意一點(diǎn)為P（x，y），由題意知，P點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)Q在上,即①.由對(duì)稱性知:解得:②將②代入①整理得對(duì)稱曲線方程為。代入法：由直線得，代入，整理即得對(duì)稱曲線的方程為。同理，當(dāng)直線方程為時(shí)，易證明代入法成立。結(jié)論：求“任意曲線關(guān)于直線（m為常數(shù)）的對(duì)稱曲線方程”問題均可用代入法解決。兩點(diǎn)說明：①這里的曲線可包括任意直線；②直線僅限于斜率為的直線，不能為其它。4
