用“代入法”巧解一類對稱問題

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1、論文:用“代入法”巧解一類對稱問題山東省臨朐第二中學(xué)盧國利郵編262605郵箱sdlqlgl@163.com地址山東省臨朐縣冶源鎮(zhèn)竹泉路10號4先看兩個例題:例1(2009年海南、寧夏高考數(shù)學(xué)試題第5題)已知圓C:,圓C與圓C:關(guān)于直線對稱,則圓的方程為()(A)(B)(C)(D)多數(shù)參考用書和復(fù)習(xí)資料給出的解法如下:解法一:圓C:的圓心為C(-1,1),設(shè)圓C的圓心為C(a,b),由題意知C與C關(guān)于直線對稱解得又圓C的半徑為1,所以圓C的方程為,故選(B)用下面方法解更簡捷解法二:由直線得,將此式代入

2、圓C:可得即便是圓C的方程。例2圓關(guān)于直線對稱的圓的方程為()(A)(B)(C)(D)解法一:將圓化為標(biāo)準(zhǔn)式,其圓心為(-2,2)。設(shè)對稱的圓的圓心坐標(biāo)為(a,b),由題意知兩圓心關(guān)于直線對稱,所以有解得,又圓的半徑為2,故對稱的圓的方程為,故選(A)解法二:由直線得,將此式代入可得整理得即為所求圓的方程。解法一抓住“對稱”,著眼“中”“垂”。利用“中”即對稱點連線的中點在關(guān)于對稱的直線上;“垂”4即對稱點連線所在直線與關(guān)于對稱的直線相互垂直,列出兩個關(guān)系式求解,稱之為中垂法,它是解決該類題的一般方法。

3、解法二將關(guān)于對稱的直線方程整理后直接代入圓的方程,化簡后即的對稱的圓的方程,稱之為代入法。比較兩解法,顯然代入法思維運算量少,步驟更簡捷,易于掌握。但是,這種解法是否具有一般性?如果將圓的方程推廣到任意圓,直線的方程推廣到斜率為1的任意直線,該方法是否成立?求圓關(guān)于直線的對稱的圓的方程。中垂法:圓的圓心為(a,b),設(shè)對稱的圓的圓心為),由題意知兩圓心關(guān)于直線對稱解得,又因為圓的半徑為r,對稱圓的方程為代入法:由直線得,代入圓的方程,整理得對稱圓的方程為。兩種解法解題過程合理,結(jié)果相同。由此知代入法對求

4、“任意圓關(guān)于斜率為1的直線的對稱的圓的方程”問題均適用。同理可證明,若將題目中的直線換為“斜率為-1”的直線,其它不變,該解法仍成立。下面舉例說明:例3求圓關(guān)于直線的對稱的圓的方程。代入法:由直線得,代入圓的方程得,故對稱的圓的方程為。綜上所述,對于求“任意圓關(guān)于斜率為1的直線的對稱的圓的方程”問題均可用代入法解決。如果將圓的方程換成其它曲線方程,結(jié)果會怎樣?例4求橢圓關(guān)于直線的對稱橢圓方程。中垂法:設(shè)所求橢圓上任意一點為P(x,y),由題意知P點關(guān)于直線的對稱點Q在橢圓上,即有①所以解得②4將②代入①

5、即得所求橢圓方程為代入法:由直線得代入橢圓,即得對稱橢圓方程為。兩解法結(jié)果仍相同。實際上,凡是求“任意曲線關(guān)于斜率為1的直線的對稱曲線的方程”問題,均可用代入法解決。證明如下:求曲線關(guān)于直線的對稱的曲線方程。中垂法:設(shè)要求曲線上任意一點為P(x,y),由題意知,P點關(guān)于直線的對稱點Q在上,即①.由對稱性知:解得:②將②代入①整理得對稱曲線方程為。代入法:由直線得,代入,整理即得對稱曲線的方程為。同理,當(dāng)直線方程為時,易證明代入法成立。結(jié)論:求“任意曲線關(guān)于直線(m為常數(shù))的對稱曲線方程”問題均可用代入法

6、解決。兩點說明:①這里的曲線可包括任意直線;②直線僅限于斜率為的直線,不能為其它。4

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