基于蒙特卡洛方法的高斯混合采樣粒子濾波算法研究

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1、基于蒙特卡洛方法的高斯混合采樣粒子濾波算法研究摘?要?本文提出了一種標(biāo)準(zhǔn)粒子濾波器的改進(jìn)算法——高斯混合采樣粒子濾波算法。仿真結(jié)果表明，新算法在大幅降低計(jì)算復(fù)雜度的前提下，具有比標(biāo)準(zhǔn)粒子濾波算法(SIR-PPF)更好估計(jì)性能.關(guān)鍵詞?卡爾曼濾波；粒子濾波；序列蒙特卡洛；貝葉斯濾波；高斯混合采樣編輯。?貝葉斯方法為動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的估計(jì)問題提供了一類嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕鉀Q框架。它利用已知的信息建立系統(tǒng)的概率密度函數(shù)可以得到對系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)的最優(yōu)解。對于線性高斯的估計(jì)問題，期望的概率密度函數(shù)仍是高斯分布，它的分布特性可用均值和方差來描述?？柭鼮V波器很好地解決了這類估計(jì)問題[1]。對于非線性系統(tǒng)的估

2、計(jì)問題，最經(jīng)典并得到廣泛應(yīng)用的方法以擴(kuò)展的卡爾曼濾波為代表，這類方法需要對模型進(jìn)行線性化，同時(shí)要求期望的概率密度函數(shù)滿足高斯分布，然而在對實(shí)際系統(tǒng)建模時(shí)，模型往往是非線性非高斯的。此時(shí)，最優(yōu)估計(jì)很難實(shí)現(xiàn)。粒子濾波器——序列重要性采樣粒子濾波器，是一種適用于強(qiáng)非線性、無高斯約束的基于模擬的統(tǒng)計(jì)濾波器[2]。它利用一定數(shù)量的粒子來表示隨機(jī)變量的后驗(yàn)概率分布，從而可以近似得到任意函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，并且能應(yīng)用于任意非線性隨機(jī)系統(tǒng)。本文介紹一種估計(jì)性能更好的粒子濾波算法——高斯混合采樣粒子濾波器(GMSPPF)，相比通常意義上的粒子濾波算法，GMSPPF粒子濾波器具有更小的系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)

3、的均方誤差和均值。貝葉斯濾波用概率統(tǒng)計(jì)的方法從已觀察到的數(shù)據(jù)中獲得動(dòng)態(tài)狀態(tài)空間模型參數(shù)。在DSS模型中，包含狀態(tài)和觀測兩個(gè)方程[3][4]。其中狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程通常寫作??這里，是已知，且是白噪聲獨(dú)立的隨機(jī)序列，而且分布是已知的。觀測方程表達(dá)式寫為這里：是白噪聲序列，獨(dú)立且分布已知。并且滿足。圖1描述了DSS模型中狀態(tài)轉(zhuǎn)移和似然函數(shù)的關(guān)系。假設(shè)初始時(shí)刻系統(tǒng)的狀態(tài)分布已知，k時(shí)刻的已知信息序列表示。圖1?動(dòng)態(tài)狀態(tài)空間模型這樣，貝葉斯估計(jì)的問題理解為：利用觀測到的信息Yk，求解系統(tǒng)狀態(tài)的概率分布。若系統(tǒng)狀態(tài)的變化是隱馬爾柯夫過程，即當(dāng)前系統(tǒng)的狀態(tài)信息只與上一個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)有關(guān)，可以通

4、過預(yù)測和更新的途徑求解。?這里：?假設(shè)xk，wk是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，滿足。于是，參考式可以把式寫為其中，是采樣函數(shù)。當(dāng)是已知時(shí)，xk可以通過確定性方程得到。依據(jù)貝葉斯準(zhǔn)則，系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)量其中，??另外，在給定xk，vk，分布的條件下，yk的條件概率依據(jù)測量方程可以表示為如下形式??由式可以看出，后驗(yàn)概率密度包含3個(gè)部分。先驗(yàn)概率似然函數(shù)和證據(jù)。如何獲得這三項(xiàng)的近似是貝葉斯濾波的核心問題。更新方程中觀測值用來對的先驗(yàn)預(yù)測值修正，從而獲得狀態(tài)的后驗(yàn)概率。方程和的遞歸關(guān)系構(gòu)成了求解貝葉斯估計(jì)問題的兩個(gè)步驟：預(yù)測與更新。如果(1)，(2)中的hk，fk是線性的，且噪聲wk，vk滿

5、足高斯白噪聲，可以把貝葉斯估計(jì)問題簡化為卡爾曼分析解。但這類問題僅僅是實(shí)際問題中很小的一個(gè)部分。對于更多的問題，很難得到分析解。只有通過對問題的近似線性處理(擴(kuò)展卡爾曼濾波)或其它途徑實(shí)現(xiàn)非線性、非高斯問題的解。依據(jù)后面分析問題需要，這里重點(diǎn)對蒙特卡洛方法積分進(jìn)行說明。在過去的二十多年，蒙特卡洛方法得到了很大的發(fā)展。其優(yōu)點(diǎn)就是用系列滿足條件的采樣點(diǎn)及其權(quán)重來表示后驗(yàn)概率密度。蒙特卡洛方法采用統(tǒng)計(jì)抽樣和估計(jì)對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行求解。按照其用途，可以把蒙特卡洛方法分為三類[5]：蒙特卡洛抽樣、計(jì)算、優(yōu)化。其中，蒙特卡洛抽樣是尋找有效的、方差很小的、用于估計(jì)的抽樣方法。蒙特卡洛計(jì)算則是

6、設(shè)計(jì)產(chǎn)生滿足特定要求隨機(jī)數(shù)的隨機(jī)發(fā)生器的問題。而蒙特卡洛優(yōu)化是采用蒙特卡洛思想對實(shí)際中的非凸非差分函數(shù)優(yōu)化求解。對于，可以由概率空間p(x)中抽取N個(gè)樣本，用近似值作為的解。大數(shù)定理證明：收斂于，并且滿足條件。這里，是的方差。不同于確定性的數(shù)字計(jì)算，蒙特卡洛近似的一個(gè)重要特點(diǎn)就是估計(jì)的精度獨(dú)立于狀態(tài)空間的維數(shù)。而且，積分估計(jì)的方差與采樣點(diǎn)的個(gè)數(shù)成反比。顯然，蒙特卡洛近似方法的關(guān)鍵點(diǎn)有兩個(gè)：首先如何由一個(gè)樣本空間中抽取N個(gè)采樣點(diǎn)，用來表征后驗(yàn)概率密度。其次就是計(jì)算。重要性抽樣解決了如何借助于已知分布來對實(shí)現(xiàn)有效采樣的問題，由Marshall1965年提出。當(dāng)數(shù)據(jù)空間十分巨大時(shí)

7、，重要性抽樣只對其中“重要”區(qū)域進(jìn)行采樣，節(jié)省了計(jì)算量。對于高維采樣空間模型，如統(tǒng)計(jì)物理學(xué)、貝葉斯統(tǒng)計(jì)量，這一點(diǎn)尤為重要。重要性抽樣的中心思想是選擇一個(gè)覆蓋真實(shí)分布p的建議分布q[8]。這樣，??(9)對q作蒙特卡洛抽樣，假設(shè)粒子數(shù)目為N，有???(10)其中，稱為重要性權(quán)重，再作歸一處理，(11)是歸一化權(quán)重。為了減小估計(jì)的方差，選擇的建議性分布q與p盡可能匹配。通常，建議分布q需要一個(gè)長的拖尾，這樣可以解決區(qū)間之外的干擾。確切的說，匹配的q必須與pf成正比[9]。當(dāng)q與p不匹配時(shí)，w是不均勻分布的，在整個(gè)遞歸迭