仿射變換在初等幾何中的應(yīng)用_三稿

《仿射變換在初等幾何中的應(yīng)用_三稿》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫(kù)。

1、仿射變換在初等幾何中的應(yīng)用摘要：仿射變換，即平行投影變換，是幾何學(xué)中的一個(gè)重要變換，是從運(yùn)動(dòng)變換過(guò)渡到射影變換的橋梁。在初等幾何中，仿射圖形經(jīng)過(guò)平面仿射變換，可以由對(duì)特殊幾何圖形的證明，得出對(duì)一般幾何圖形的證明。而且，根據(jù)仿射變換的性質(zhì)，可以把特殊圖形的命題推廣到一般圖形，從而達(dá)到事半功倍的效果。本文將探討應(yīng)用仿射變換中的仿射不變性質(zhì)與仿射不變量來(lái)解決一些初等幾何問(wèn)題。關(guān)鍵詞：仿射變換；仿射不變性；仿射圖形；初等幾何問(wèn)題。2.仿射變換基本概念及有關(guān)性質(zhì)2.1定義設(shè)同一平面內(nèi)有n條直線，，，…，如圖

2、2.1，，，，…順次表示到，到，到的透視仿射，經(jīng)過(guò)這一串平行射影，使上的點(diǎn)與上的點(diǎn)建立了一一對(duì)應(yīng)，稱為到的仿射或仿射變換=，稱為，，，…按這個(gè)順序的乘積。T(A)=(A)==…=，T(B)=等等圖2.1仿射變換的代數(shù)表示，即，其中≠0定義2.2圖形經(jīng)過(guò)任何仿射變換后都不變的性質(zhì)（量），稱為圖形的仿射性質(zhì)（仿射不變量）。(1)仿射變換保持同素性；5(1)仿射變換保持結(jié)合性；(2)仿射變換保持共線三點(diǎn)的簡(jiǎn)比不變；定義2.3設(shè)，，為共線三點(diǎn)，這三點(diǎn)的簡(jiǎn)比定義為下述有向線段的比：其中，是有向線段，的代數(shù)長(zhǎng)

3、，，叫基點(diǎn)，叫分點(diǎn)。當(dāng)在，之間時(shí)，<0；當(dāng)不在，之間時(shí)，>0；當(dāng)與重合時(shí)，=0；當(dāng)與重合時(shí)，不存在；特別地當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，(ABC)=。2.2仿射性質(zhì)及仿射不變量定理1兩條平行直線經(jīng)仿射變換后仍變?yōu)閮蓷l平行直線。推論1兩條相交直線經(jīng)仿射變換后仍變成兩相交直線。推論2共點(diǎn)的直線經(jīng)仿射變換后仍變?yōu)楣颤c(diǎn)直線。定理2兩條平行線段之比是仿射不變量。推論一直線上兩線段之比是仿射不變量。定理3兩封閉圖形（如三角形、平行四邊形、橢圓等）面積之比是仿射不變量。3.仿射變換在初等幾何中的應(yīng)用根據(jù)仿射變換的性質(zhì)可知，

4、通過(guò)特殊仿射變換可將某些一般圖形變?yōu)樘厥鈭D形，如可將任何三角形變成正三角形，平行四邊形變?yōu)檎叫位蜷L(zhǎng)方形，梯形變?yōu)榈妊菪位蛑苯翘菪?。因此，?duì)于一個(gè)僅涉及仿射性質(zhì)的初等幾何命題，如果能證明它在特殊圖形中成立，則在仿射變換下，這個(gè)命題對(duì)于相應(yīng)地一般圖形也應(yīng)成立。利用仿射變換可以解決許多初等幾何問(wèn)題，下面給出它在以下幾個(gè)方面的應(yīng)用。3.1平行投影平行投影是仿射變換中最基本、最簡(jiǎn)單的一類。因此平行投影變換具有仿射變換中的一切性質(zhì)。解這類題的關(guān)鍵是選定平行投影方向，應(yīng)用平行線段之比是仿射不變量。5例1是內(nèi)

5、任一點(diǎn)，連結(jié)、、并延長(zhǎng)分別交對(duì)邊于、、。求證：.圖1證明：如圖1，分別沿和方向作平行投影。→、→由仿射變換保簡(jiǎn)單比不變得，，所以，同理，，所以.3.2三角形仿射等價(jià)性因?yàn)槿我蝗切慰梢越?jīng)過(guò)平行投影變成正三角形。因此，如果我們要證明一個(gè)有關(guān)三角形的命題，只要這個(gè)命題的條件和結(jié)論都是圖形的仿射性質(zhì)，那么只要證明命題對(duì)正三角形成立，便可斷言命題對(duì)任意三角形也成立。而正三角形是最特殊的三角形，它有很多特殊的性質(zhì)可以利用，證明起來(lái)要容易得多。例2在的中線上任取一點(diǎn)，連接、，并延長(zhǎng)交于，延長(zhǎng)交于，求證：∥.圖

6、2證明：如圖2，作仿射變換T，使得對(duì)應(yīng)正，由仿射性質(zhì)可知，點(diǎn)、、、相應(yīng)地對(duì)應(yīng)、、、，且為正的中線。在正中也是邊上的高，且、、與、、關(guān)于對(duì)稱，5、到的距離相等，則∥，由于平行性是仿射不變性，因此，在中∥.3.3證明有關(guān)平行四邊形仿射性質(zhì)的實(shí)例任一平行四邊形均可以經(jīng)過(guò)特殊平行投影變成正方形，因此，若想證明一個(gè)有關(guān)平行四邊形的命題，只要這個(gè)命題的條件和結(jié)論都是圖形的仿射性質(zhì)，那么只要證明相應(yīng)命題對(duì)正方形成立即可。例3已知在平行四邊形中，為的中點(diǎn)，在上，，交于，求證：.圖3證明：如圖3，作仿射變換，使得，

7、平行四邊形對(duì)應(yīng)正方形，則由仿射性質(zhì)可知，點(diǎn)、、分別對(duì)應(yīng)、、，且是的中點(diǎn)，.在正方形中，取的中點(diǎn)，過(guò)、、作的平行線，分別交于點(diǎn)、、。由平面幾何知識(shí)易證，，由于簡(jiǎn)比是仿射不變量，所以在平行四邊形中，.3.4證明有關(guān)梯形仿射性質(zhì)的實(shí)例任一梯形均可以經(jīng)過(guò)平行投影變成等腰梯形，若想證明一個(gè)有關(guān)梯形的命題，只要這個(gè)命題的條件和結(jié)論都是圖形的仿射性質(zhì)，那么只要證明相應(yīng)命題對(duì)等腰梯形成立即可。例4在梯形中，∥，、分別為、的中點(diǎn)，對(duì)角線與交于點(diǎn)，腰與交于點(diǎn)，求證：、、、四點(diǎn)共線。5圖4證明：如圖4，作仿射變換，使梯

8、形對(duì)應(yīng)等腰梯形，則由仿射性質(zhì)可知，點(diǎn)、、、依次對(duì)應(yīng)、、、，其中、分別為與的中點(diǎn)。在等腰梯形中，由對(duì)稱性可知，是對(duì)稱軸，為對(duì)稱直線與的交點(diǎn)，為對(duì)稱直線與的交點(diǎn)，因此，、必在直線上，即、、、四點(diǎn)共線。由于結(jié)合性是仿射不變量，所以在梯形中、、、四點(diǎn)共線。4.小結(jié)以上內(nèi)容是對(duì)仿射變換在初等幾何應(yīng)用的簡(jiǎn)單總結(jié)，當(dāng)然有些題有其他做法，但是應(yīng)用仿射變換解決起來(lái)更簡(jiǎn)捷，方便。從例題可以總結(jié)得出應(yīng)用仿射變換中的仿射不變性質(zhì)與仿射不變量解題的步驟可概括如下：①判斷求解的問(wèn)題是否能利用仿射不變性質(zhì),仿射