仿射幾何及其在初等幾何的應(yīng)用

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1、仿射幾何及其在初等幾何中的應(yīng)用仿射幾何及其在初等幾何的應(yīng)用馮朝華摘要：數(shù)學(xué)概念的辨證性質(zhì)，滲透貫穿在數(shù)學(xué)各個部分之中，數(shù)學(xué)概念是研究數(shù)學(xué)性質(zhì)的最基本的條件，我們從仿射變換的有關(guān)概念入手，了解仿射幾何所研究的幾何通過仿射變換的不變性質(zhì)和不變的數(shù)量關(guān)系以及經(jīng)過變形后的形狀和位置關(guān)系，并討論仿射幾何在初等幾何中的一些應(yīng)用。關(guān)鍵字：平行射影簡比仿射性仿射量共線點(diǎn)圖1-1定義1對于a和a′是平面不平行的兩條直線，設(shè)l為平面上一條直線，通過直線a上的諸點(diǎn)A，B，C，D，……作l的平行線，交a′于A`，B`，C`，D`，……，這樣便

2、定義了直線a到a′的一個映射。稱為透射仿射(平行射影)，a上的點(diǎn)為原象點(diǎn)，a′上的點(diǎn)為象點(diǎn)，l為平行射影的方向，記這個透射仿射為T，則寫A′=T(A)。圖1-2有了以上的定義后，我們來觀察一種較常見的幾何變形——平面到平面的透射仿射。如下圖所示，設(shè)π與π`為空間中的兩個平面，l是跟這兩個平面都不平行的方向(向量)。平面π上的直線a，對過直線上的點(diǎn)A作平行于l的直線交平面π`于點(diǎn)A`，用同樣的方法可作出點(diǎn)B和點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)B`，C`。于是便建立了平面π到π`的對應(yīng)關(guān)系。稱為π到π`依方向l的透射仿射。根據(jù)初等幾何的知識，我

3、們很容易可以驗(yàn)證這種平行投影具有以下的性質(zhì)：π與π`之間的點(diǎn)建立一一對應(yīng)關(guān)系，即π上的點(diǎn)通過變換成為π`上點(diǎn)；π上的直線變成了π`上的直線；若一個點(diǎn)A在l上，則A的對應(yīng)點(diǎn)A`也應(yīng)在l的對應(yīng)直線l`上；π上平行的兩直線變到π`上的兩條直線也是平行的。直線上的三點(diǎn)的“單比(簡比)”保持不變，也就是如果A,B,C是π上共線的三點(diǎn)，A`，B`，C`分別是它們的象點(diǎn)，則。我們把稱為透射仿射具有同素性，把滿足稱為透射仿射具有結(jié)合性。第9頁共9頁仿射幾何及其在初等幾何中的應(yīng)用而滿足則稱為透射仿射具有平行性。這是二平面間的透射仿射變換

4、的概念和一些性質(zhì)，利用此可以建立仿射變換的概念。定義2如果有π1，π2，……πn+1個平面且πi和πi+1(i=1，2，……，n)兩個平面間建立透射仿射變換，就形成了一個透射仿射變換鏈，最初一個平面π1和最后一個平面πn+1之間的一一對應(yīng)就叫仿射變換。所以仿射變換是由組成它的透射仿射變換來決定的，也就是說，透射仿射變換是特殊的仿射變換。仿射變換應(yīng)該是有限次透射仿射變換的乘積。如果平面π與平面πn+1重合，則π到π`的仿射對應(yīng)叫做平面π到自身的仿射變換。由上述可知，透射仿射變換和仿射變換是有區(qū)別的：1、透射仿射變換的對應(yīng)

5、點(diǎn)連線相互平行的，而在一般情況下，仿射變換的對應(yīng)點(diǎn)的連線是不平行的。當(dāng)π1//π2//……//πn+1或是π1，π2，……πn+1共線時，π1到πn+1的對應(yīng)點(diǎn)的連線是平行的。(證明略)(反之則不真)2、二平面的透射仿射變換，當(dāng)兩平面相交時，其交線為自對應(yīng)軸，也就是說，交線上的每個點(diǎn)都是自對應(yīng)的。而兩平面的仿射變換一般沒有自對應(yīng)軸。仿射幾何是研究仿射不變性和仿射不變量的學(xué)科。所謂仿射不變性和不變量是指：圖形經(jīng)過仿射變換后不改變的性質(zhì)。也有稱之為仿射性。圖形經(jīng)過仿射變換后不改變的量，稱為仿射不變量，或叫做仿射量。根據(jù)仿射

6、的定義可知到，同素性，結(jié)合性是最基本的仿射不變性，而共線三點(diǎn)的單比不變則是最基本的仿射不變量。定理1二直線間的平行性是仿射不變性證明：設(shè)a，b是平面π內(nèi)的兩條平行線，a`，b`是它們在平面π`內(nèi)的仿射映象，因此只需證明a`//b`。圖1-3若a`與b`不平行，則在平面π`中必相交于一點(diǎn)P`，且使P是P`的原象點(diǎn)，那么由于仿射保留結(jié)合性，點(diǎn)P應(yīng)該既在a上又在b上，既是說a和b是相交而不是平行，矛盾！所以a`//b`，所以命題成立。于是進(jìn)一步可知：推論1.1平行四邊形是仿射不變圖形。第9頁共9頁仿射幾何及其在初等幾何中的應(yīng)

7、用因?yàn)閮山M對邊分別平行，通過仿射變換后也應(yīng)該是分別互相平行。推論1.2兩直線的相交性是仿射不變性。推論1.2.1共線的直線經(jīng)過仿射變換后任變成共點(diǎn)的直線。推論1.2.2梯形是仿射不變圖形。例1線段的中點(diǎn)具有仿射不變性。證明：設(shè)C是線段AB的中點(diǎn)，且在仿射變換下，A→A`，B→B`，C→C`。由仿射變換保結(jié)合性，故C`在直線A`B`上，又因?yàn)楣簿€三點(diǎn)的單比是仿射不變量，于是有即C`任是A`B`的中點(diǎn)。所以，線段的中點(diǎn)具有仿射不變性。定理2兩平行線段之比是仿射不變量在此用綜合法來證明。證明：如下圖，已知AB//CD，經(jīng)過仿

8、射變換φ后，AB的象為A`B`，CD的象為A`B`，下證。圖1-4由于仿射變換保持結(jié)合性，可知AD的象為A`C`。作BE//CD于E則ABCD為平行四邊形，∴AB//CDAC//BE。若E的對應(yīng)為E`，由結(jié)合性可知，E`在C`D`上。BE的象為B`E`。由仿射變換保平行性，可知A`C`//B`E`。由AB//CD，可知A`B`//