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《波動方程或稱波方程》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、波動方程或稱波方程（英語：waveequation）是一種重要的偏微分方程，主要描述自然界中的各種的波動現(xiàn)象，包括橫波和縱波，例如聲波、光波、無線電波和水波。波動方程抽象自聲學(xué)、物理光學(xué)、電磁學(xué)、電動力學(xué)、流體力學(xué)等領(lǐng)域。歷史上許多科學(xué)家，如達(dá)朗貝爾、歐拉、丹尼爾·伯努利和拉格朗日等在研究樂器等物體中的弦振動問題時，都對波動方程理論作出過重要貢獻(xiàn)。波動方程是雙曲形偏微分方程的最典型代表，其最簡形式可表示為：關(guān)于位置x和時間t的標(biāo)量函數(shù)u（代表各點偏離平衡位置的距離）滿足：這里c通常是一個固定常數(shù)，代表波的傳播速率。在常壓、20°C的空氣中c為343米/秒（
2、參見音速）。在弦振動問題中，c依不同弦的密度大小和軸向張力不同可能相差非常大。而在半環(huán)螺旋彈簧（一種玩具，英文商標(biāo)為Slinky）上，波速可以慢到1米/秒。在針對實際問題的波動方程中，一般都將波速表示成可隨波的頻率變化的量，這種處理對應(yīng)真實物理世界中的色散現(xiàn)象。此時，c應(yīng)該用波的相速度代替：實際問題中對標(biāo)準(zhǔn)波動方程的另一修正是考慮波速隨振幅的變化，修正后的方程變成下面的非線性波動方程：另需注意的是物體中的波可能是疊加在其他運動（譬如介質(zhì)的平動，以氣流中傳播的聲波為例）上的。這種情況下，標(biāo)量u的表達(dá)式將包含一個馬赫因子（對沿流動方向傳播的波為正，對反射波為負(fù)
3、）。三維波動方程描述了波在均勻各向同性彈性體中的傳播。絕大多數(shù)固體都是彈性體，所以波動方程對地球內(nèi)部的地震波和用于檢測固體材料中缺陷的超聲波的傳播能給出滿意的描述。在只考慮線性行為時，三維波動方程的形式比前面更為復(fù)雜，它必須同時考慮固體中的縱波和橫波:式中：·和被稱為彈性體的拉梅常數(shù)（也叫“拉梅模量”，英文Laméconstants或Lamémoduli），是描述各向同性固體彈性性質(zhì)的參數(shù)；·表示密度；·是源函數(shù)（即外界施加的激振力）；·表示位移；注意在上述方程中，激振力和位移都是矢量，所以該方程也被稱為矢量形式的波動方程。其他形式的波動方程還能在量子力學(xué)
4、和廣義相對論理論中用到。目錄?[隱藏]?·1標(biāo)量形式的一維波動方程o1.1波動方程的推導(dǎo)o1.2初值問題的解·2標(biāo)量形式的三維波動方程o2.1球面波§2.1.1時間箭頭的討論o2.2廣義初值問題的解·3標(biāo)量形式的二維波動方程·4邊值問題o4.1一維情形o4.2多維情形·5注釋·6參考文獻(xiàn)·7參看·8外部鏈接標(biāo)量形式的一維波動方程[編輯]波動方程的推導(dǎo)[編輯]一維波動方程可用如下的方式推導(dǎo)：一列質(zhì)量為m的小質(zhì)點，相鄰質(zhì)點間用長度h的彈簧連接。彈簧的彈性系數(shù)（又稱“倔強(qiáng)系數(shù)”）為k：其中u(x)表示位于x的質(zhì)點偏離平衡位置的距離。施加在位于x+h處的質(zhì)點m上的
5、力為：其中代表根據(jù)牛頓第二定律計算的質(zhì)點慣性力，代表根據(jù)胡克定律計算的彈簧作用力。所以根據(jù)分析力學(xué)中的達(dá)朗貝爾原理，位于x+h處質(zhì)點的運動方程為：式中已注明u(x)是時間t的顯函數(shù)。若N個質(zhì)點間隔均勻地固定在長度L=Nh的彈簧鏈上，總質(zhì)量M=Nm，鏈的總體勁度系數(shù)為K=k/N，我們可以將上面的方程寫為：取極限N,h就得到這個系統(tǒng)的波動方程：在這個例子中，波速。初值問題的解[編輯]一維標(biāo)量形式波動方程的一般解是由達(dá)朗貝爾給出的。原方程可以寫成如下的算子作用形式：從上面的形式可以看出，若F和G為任意函數(shù)，那么它們以下形式的組合必然滿足原方程。上面兩項分別對應(yīng)兩
6、列行波（"行"與在"行動"中同音）——F表示經(jīng)過該點（x點）的右行波，G表示經(jīng)過該點的左行波。為完全確定F和G的最終形式還需考慮如下初始條件：經(jīng)帶入運算，就得到了波動方程著名的達(dá)朗貝爾行波解，又稱達(dá)朗貝爾公式：在經(jīng)典的意義下，如果并且則。但是，行波函數(shù)F和G也可以是廣義函數(shù)，比如狄拉克δ函數(shù)。在這種情況下，行波解應(yīng)被視作左行或右行的一個脈沖。基本波動方程是一個線性微分方程，也就是說同時受到兩列波作用的點的振幅就是兩列波振幅的相加。這意味著可以通過把一列波分解成它的許求解中很有效。標(biāo)量形式的三維波動方程[編輯]三維波動方程初值問題的解可以通過求解球面波波動方
7、程得到。求解結(jié)果可用于推導(dǎo)二維情況的解。球面波[編輯]球面波方程的形式不隨空間坐標(biāo)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動而變化，所以可以將它寫成僅與距源點距離r相關(guān)的函數(shù)。方程的三維形式為：將方程變形為：此時，因變量ru滿足一維波動方程，于是可以利用達(dá)朗貝爾行波法將解寫成：其中F和G為任意函數(shù)，可以理解為以速度c從中心向外傳播的波和從外面向中心傳播的波。這類從點源傳出的波強(qiáng)度隨距點源距離r衰減，并且屬于無后效波，可以清晰地搭載信號。這種波僅在奇數(shù)維空間中存在（原因?qū)⒃谙乱恍」?jié)中詳細(xì)解釋）。幸運的是，我們生活的空間是三維的，所以我們可以清晰地通過聲波和電磁波（都屬于球面波）來互相交流。
8、時間箭頭的討論[編輯]上面方程的解里面，分成了兩部分，一部分表示向
