波動(dòng)方程或稱波方程

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1、波動(dòng)方程或稱波方程（英語(yǔ)：waveequation）是一種重要的偏微分方程，主要描述自然界中的各種的波動(dòng)現(xiàn)象，包括橫波和縱波，例如聲波、光波、無(wú)線電波和水波。波動(dòng)方程抽象自聲學(xué)、物理光學(xué)、電磁學(xué)、電動(dòng)力學(xué)、流體力學(xué)等領(lǐng)域。歷史上許多科學(xué)家，如達(dá)朗貝爾、歐拉、丹尼爾·伯努利和拉格朗日等在研究樂器等物體中的弦振動(dòng)問題時(shí)，都對(duì)波動(dòng)方程理論作出過(guò)重要貢獻(xiàn)。波動(dòng)方程是雙曲形偏微分方程的最典型代表，其最簡(jiǎn)形式可表示為：關(guān)于位置x和時(shí)間t的標(biāo)量函數(shù)u（代表各點(diǎn)偏離平衡位置的距離）滿足：這里c通常是一個(gè)固定常數(shù)，代表

2、波的傳播速率。在常壓、20°C的空氣中c為343米/秒（參見音速）。在弦振動(dòng)問題中，c依不同弦的密度大小和軸向張力不同可能相差非常大。而在半環(huán)螺旋彈簧（一種玩具，英文商標(biāo)為Slinky）上，波速可以慢到1米/秒。在針對(duì)實(shí)際問題的波動(dòng)方程中，一般都將波速表示成可隨波的頻率變化的量，這種處理對(duì)應(yīng)真實(shí)物理世界中的色散現(xiàn)象。此時(shí)，c應(yīng)該用波的相速度代替：實(shí)際問題中對(duì)標(biāo)準(zhǔn)波動(dòng)方程的另一修正是考慮波速隨振幅的變化，修正后的方程變成下面的非線性波動(dòng)方程：另需注意的是物體中的波可能是疊加在其他運(yùn)動(dòng)（譬如介質(zhì)的平動(dòng)，以

3、氣流中傳播的聲波為例）上的。這種情況下，標(biāo)量u的表達(dá)式將包含一個(gè)馬赫因子（對(duì)沿流動(dòng)方向傳播的波為正，對(duì)反射波為負(fù)）。三維波動(dòng)方程描述了波在均勻各向同性彈性體中的傳播。絕大多數(shù)固體都是彈性體，所以波動(dòng)方程對(duì)地球內(nèi)部的地震波和用于檢測(cè)固體材料中缺陷的超聲波的傳播能給出滿意的描述。在只考慮線性行為時(shí)，三維波動(dòng)方程的形式比前面更為復(fù)雜，它必須同時(shí)考慮固體中的縱波和橫波:式中：·和被稱為彈性體的拉梅常數(shù)（也叫“拉梅模量”，英文Laméconstants或Lamémoduli），是描述各向同性固體彈性性質(zhì)的參數(shù)；

4、·表示密度；·是源函數(shù)（即外界施加的激振力）；·表示位移；注意在上述方程中，激振力和位移都是矢量，所以該方程也被稱為矢量形式的波動(dòng)方程。其他形式的波動(dòng)方程還能在量子力學(xué)和廣義相對(duì)論理論中用到。目錄?[隱藏]?·1標(biāo)量形式的一維波動(dòng)方程o1.1波動(dòng)方程的推導(dǎo)o1.2初值問題的解·2標(biāo)量形式的三維波動(dòng)方程o2.1球面波§2.1.1時(shí)間箭頭的討論o2.2廣義初值問題的解·3標(biāo)量形式的二維波動(dòng)方程·4邊值問題o4.1一維情形o4.2多維情形·5注釋·6參考文獻(xiàn)·7參看·8外部鏈接標(biāo)量形式的一維波動(dòng)方程[編輯]

5、波動(dòng)方程的推導(dǎo)[編輯]一維波動(dòng)方程可用如下的方式推導(dǎo)：一列質(zhì)量為m的小質(zhì)點(diǎn)，相鄰質(zhì)點(diǎn)間用長(zhǎng)度h的彈簧連接。彈簧的彈性系數(shù)（又稱“倔強(qiáng)系數(shù)”）為k：其中u(x)表示位于x的質(zhì)點(diǎn)偏離平衡位置的距離。施加在位于x+h處的質(zhì)點(diǎn)m上的力為：其中代表根據(jù)牛頓第二定律計(jì)算的質(zhì)點(diǎn)慣性力，代表根據(jù)胡克定律計(jì)算的彈簧作用力。所以根據(jù)分析力學(xué)中的達(dá)朗貝爾原理，位于x+h處質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為：式中已注明u(x)是時(shí)間t的顯函數(shù)。若N個(gè)質(zhì)點(diǎn)間隔均勻地固定在長(zhǎng)度L=Nh的彈簧鏈上，總質(zhì)量M=Nm，鏈的總體勁度系數(shù)為K=k/N，我們

6、可以將上面的方程寫為：取極限N,h就得到這個(gè)系統(tǒng)的波動(dòng)方程：在這個(gè)例子中，波速。初值問題的解[編輯]一維標(biāo)量形式波動(dòng)方程的一般解是由達(dá)朗貝爾給出的。原方程可以寫成如下的算子作用形式：從上面的形式可以看出，若F和G為任意函數(shù)，那么它們以下形式的組合必然滿足原方程。上面兩項(xiàng)分別對(duì)應(yīng)兩列行波（"行"與在"行動(dòng)"中同音）——F表示經(jīng)過(guò)該點(diǎn)（x點(diǎn)）的右行波，G表示經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的左行波。為完全確定F和G的最終形式還需考慮如下初始條件：經(jīng)帶入運(yùn)算，就得到了波動(dòng)方程著名的達(dá)朗貝爾行波解，又稱達(dá)朗貝爾公式：在經(jīng)典的意義下，

7、如果并且則。但是，行波函數(shù)F和G也可以是廣義函數(shù)，比如狄拉克δ函數(shù)。在這種情況下，行波解應(yīng)被視作左行或右行的一個(gè)脈沖?；静▌?dòng)方程是一個(gè)線性微分方程，也就是說(shuō)同時(shí)受到兩列波作用的點(diǎn)的振幅就是兩列波振幅的相加。這意味著可以通過(guò)把一列波分解成它的許求解中很有效。標(biāo)量形式的三維波動(dòng)方程[編輯]三維波動(dòng)方程初值問題的解可以通過(guò)求解球面波波動(dòng)方程得到。求解結(jié)果可用于推導(dǎo)二維情況的解。球面波[編輯]球面波方程的形式不隨空間坐標(biāo)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)而變化，所以可以將它寫成僅與距源點(diǎn)距離r相關(guān)的函數(shù)。方程的三維形式為：將方程變

8、形為：此時(shí)，因變量ru滿足一維波動(dòng)方程，于是可以利用達(dá)朗貝爾行波法將解寫成：其中F和G為任意函數(shù)，可以理解為以速度c從中心向外傳播的波和從外面向中心傳播的波。這類從點(diǎn)源傳出的波強(qiáng)度隨距點(diǎn)源距離r衰減，并且屬于無(wú)后效波，可以清晰地搭載信號(hào)。這種波僅在奇數(shù)維空間中存在（原因?qū)⒃谙乱恍」?jié)中詳細(xì)解釋）。幸運(yùn)的是，我們生活的空間是三維的，所以我們可以清晰地通過(guò)聲波和電磁波（都屬于球面波）來(lái)互相交流。時(shí)間箭頭的討論[編輯]上面方程的解里面，分成了兩部分，一部分表示向