積分上限函數(shù)的應(yīng)用

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1、積分上限函數(shù)的應(yīng)用1引言在一元函數(shù)的微積分學(xué)中，由于證明原函數(shù)存在定理和微積分基本公式的需要，引入積分上限函數(shù)，從而揭示了不定積分與定積分，微分與積分的內(nèi)在聯(lián)系，解決了定分的計(jì)算問題.積分上限函數(shù)，即變上限的定積分，這是一類新的函數(shù).即具有與普遍函數(shù)相關(guān)的特征，又由于它的上限是變化的.因而有具有與許多與積分有關(guān)的特殊性質(zhì).我們利用積分上限函數(shù)可以簡化計(jì)算和證明，下面舉例說明積分上限函數(shù)在解題或證明中的應(yīng)用.2一元函數(shù)的積分上限函數(shù)2.1一元函數(shù)的積分上限函數(shù)的定義定義1[4]對(duì)于某區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)設(shè)為上的任一點(diǎn)，變上限的定積分，顯然存在，當(dāng)

2、在上任意變動(dòng)時(shí)，對(duì)于每一個(gè)取定的的值，就有一個(gè)對(duì)應(yīng)的值，這樣就在上定義了一個(gè)新的函數(shù)——積分上限函數(shù).一般記作.這個(gè)概念是一個(gè)較抽象的概念，我們可以結(jié)合幾何解釋。表示一個(gè)以為曲邊的曲邊梯形的面積，當(dāng)給一個(gè)確定的值，有一個(gè)確定的值，所以又稱為面積函數(shù).2.2一元積分上限函數(shù)的應(yīng)用2.2.1積分上限函數(shù)在證明不等式中的應(yīng)用對(duì)于有些含有定積分的不等式的證明，往往可以把積分上限變量看作6參數(shù)而構(gòu)造輔助函數(shù)，在通過求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性的方法加以證明.例1設(shè)函數(shù)在上連續(xù)且單調(diào)遞減，證明：對(duì)任意的，均有.證明：構(gòu)造函數(shù)則.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，從

3、而當(dāng)時(shí)，故在單調(diào)遞減，于是對(duì)任意的，有，即，即.成立2.2.2積分上限函數(shù)在證明積分等式中的應(yīng)用當(dāng)積分等式中的定積分的上限（或下限）為字母時(shí)，可將它視為其變量，構(gòu)造一個(gè)積分上限函數(shù)，通過證明積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零，即可推出要證的等式成立.例2設(shè)是連續(xù)函數(shù)，證明.證明：構(gòu)造函數(shù).由積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定理及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則得.因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋?，故原等式成?2.2.3積分上限函數(shù)在證明積分中值定理中的應(yīng)用例3（積分中值定理[1]）若和在內(nèi)連續(xù)，且不變號(hào)，則存在使.證明：作，則6在內(nèi)連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，由羅爾定理，存在使，而..因?yàn)椴蛔?/p>

4、號(hào)，所以，則.2.2.4積分上限函數(shù)在證明微分中值定理中的應(yīng)用例4（Lagrange中值定理[1]）如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，那么在區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使成立.證明：把中的換成得.將上式兩邊取積分有積分得.令，顯然，且在上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，既滿足羅爾定理?xiàng)l件，則至少存在一點(diǎn)，使，而，則至少存在一點(diǎn)使成立。2.2.5積分上限函數(shù)在證明原函數(shù)一致收斂性的應(yīng)用例5設(shè)函數(shù)列在上一致收斂于，且在上連續(xù)，則對(duì)應(yīng)的原函數(shù)列在上也一致收斂于，其中，.證明：因?yàn)樵谏弦恢率諗坑冢詫?duì)，存在自然數(shù)N，6當(dāng)時(shí),對(duì)任意,有，即.對(duì)上式在上積分得，

5、即，，因?yàn)?，，所以，即?所以在上一致收斂于.2.2.6積分上限函數(shù)在計(jì)算累次積分中的應(yīng)用例6解：令，則它是積分上限的函數(shù).因?yàn)樵谏线B續(xù)，則在上可導(dǎo)，且有，存在.63二元函數(shù)的積分上限函數(shù)3.1二元函數(shù)的積分上限函數(shù)的定義定義2[3]如果二元函數(shù)在區(qū)域上可積，則與定積分類似，積分上限函數(shù)的定義為.3.2二元函數(shù)的積分上限函數(shù)的應(yīng)用在某些題目中，可以構(gòu)造積分上限函數(shù)來驗(yàn)證是否為全微分.例7驗(yàn)證是全微分，其中是連續(xù)函數(shù)，解：令（積分上限函數(shù)）由于連續(xù)，故有，并且他們都是的連續(xù)函數(shù)，因此可微，且.故是的全微分.4小結(jié)在《數(shù)學(xué)分析》教材中，多處出現(xiàn)

6、設(shè)立輔助函數(shù)的推理，是學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)之一.練習(xí)題中也涉及若干抽象函數(shù)的定積分問題，若能變動(dòng)其上限作為積分是上限函數(shù)，運(yùn)用一些分析或初等方法，從而使問題迎刃而解.致謝在本文的寫作過程中得到了王汝軍老師的精心指導(dǎo)，在此表示衷心的感謝.6參考文獻(xiàn)[1]閻彥宗.關(guān)于積分上限函數(shù)分析性質(zhì)的討論[J].許昌學(xué)院學(xué)報(bào)，2003.[2]劉玉蓮.《數(shù)學(xué)分析》（第2版）（上）.北京師范數(shù)學(xué)系[M].高等教育出版社，1992.6.[3]成舜.積分上限函數(shù)及其應(yīng)用[J].廣州教育學(xué)院.廣州師專學(xué)報(bào)，1995（2）.[4]劉德芩編、葛瑣網(wǎng)審.高等數(shù)學(xué)習(xí)題指導(dǎo)[M].兵

7、器工業(yè)出版社，1988.[5]華東師大數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析[M].高等教育出版社（第三版）,19946