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《積分上限函數(shù)及其導數(shù)》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、§2微積分學基本定理1、積分上限函數(shù)及其導數(shù)定義1：設(shè)f(x)在[a,b]上可積，則對?x?[a,b]，f(x)在[a,x]上也可積，x于是，由?(x)??f(t)dt，x?[a,b]定義了一個以積分上限x為自變量的函ab數(shù)，稱為變上限函數(shù)；?(x)??f(t)dt，x?[a,b]稱為變下限的函數(shù)；?(x)x和?(x)統(tǒng)稱為變限函數(shù)。x定理1若函數(shù)f(x)在[a,b]上可積，則變上限函數(shù)?(x)??f(t)dt在[a,b]上a連續(xù)。定理2（原函數(shù)存在定理）：若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則變上限函數(shù)xdx?(x)??f(t)dt
2、在[a,b]上可微，且??(x)??af(t)dt?f(x)，x?[a,b]adx證：?x?[a,b]，任取?x?0，且x??x?[a,b]，則x??xx????(x??x)??(x)??ft)(td??ft)(tdaa由積分中值定理知，存在?介于x與x+?x之間，使得???f(?)?x，由于?x?0???x，再由導數(shù)定義及f(x)的連續(xù)性知????(x)?lim?limf(?)?limf(?)?f(x).?x?0?x?x?0??x推論：?()x；?()x((?ftdt))(???f??(x))(x)(?f())tdt???f(()
3、)??x??()xf(())??x()xa?()x2dt?例1設(shè)f(x)??sinx1?t2，求f?(6)例2xd?sintdtdt0x例3sin2t?0lim3x?0x2、Newton—Leibniz公式定理3（Newton—Leibniz公式）：如果函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)b間?a,b?上的一個原函數(shù)，則?f(x)dx?F(b)?F(a).ax證：因為?(x)??af(t)td是f(x)的一個原函數(shù)，則F(x)??(x)?C，令x?a，x有F(a)??(a)?C，又?(a)?0，因此，C?F(a)，所以?f(t)dt?
4、F(x)?F(a).a注：在實際應(yīng)用中，定理的條件可以減弱為：F(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導，F(xiàn)x?()?f()x，x?(,ab)，而f(x)在[a,b]上可積。例412?xdx0例53dx?21?x?1x?0ft(t)dt例6設(shè)f(x)在[0，+∞]內(nèi)連續(xù)，且f(x)?0，求證函數(shù)F(x)?x在?0f(t)dt[0，+∞]內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù)。3、小結(jié)在應(yīng)用Newton—Leibniz公式時，要求被積函數(shù)在積分區(qū)域上連續(xù)，否則會出問題：例如2，就不能用Newton—Leibniz公式。1?dxx?2
