《場論與復變》課件第1講

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1、課程名稱復變函數(shù)教材《復變函數(shù)》(四版)西安交通大學高等數(shù)學教研室編總學時36學時教師姓名付少忠課程簡介對象復變函數(shù)（自變量為復數(shù)的函數(shù)）主要任務研究復變數(shù)之間的相互依賴關系，具體地就是復數(shù)域上的微積分。主要內(nèi)容復變函數(shù)的積分、級數(shù)、留數(shù)、共形映射等。復數(shù)與復變函數(shù)、解析函數(shù)、學習方法復變函數(shù)中許多概念、理論、和方法是實變函數(shù)在復數(shù)域內(nèi)的推廣和發(fā)展，它們之間有許多相似之處。但又有不同之處，在學習中要善于比較、區(qū)別、特別要注意復數(shù)域上特有的那些性質(zhì)與結果。背　景復數(shù)是十六世紀人們在解代數(shù)方程時引進的。為使負數(shù)開方有意義，需要再一次擴大數(shù)系，使實數(shù)域擴大到復數(shù)域。但在十八世

2、紀以前，由于對復數(shù)的概念及性質(zhì)了解得不清楚，用它們進行計算又得到一些矛盾，所以，在歷史上長時期人們把復數(shù)看作不能接受的“虛數(shù)”。直到十八世紀，J.D’Alembert(1717-1783)與L.Euler(1707-1783)等人逐步闡明了復數(shù)的幾何意義和物理意義，澄清了復數(shù)的概念，并且應用復數(shù)和復變函數(shù)研究了流體力學等方面的一些問題。復數(shù)才被人們廣泛承認接受，復變函數(shù)論才能順利建立和發(fā)展。復變函數(shù)的理論基礎是十九世紀奠定的。A.L.Cauchy（1789-1866)和K.Weierstrass(1815-1897)分別應用積分和級數(shù)研究復變函數(shù)，G.F.B.Riema

3、nn(1826-1866)研究復變函數(shù)的映射性質(zhì)。他們是這一時期的三位代表人物。經(jīng)過他們的巨大努力，復變函數(shù)形成了非常系統(tǒng)的理論，且滲透到了數(shù)學的許多分支，同時，它在熱力學，流體力學和電學等方面也得到了很多的應用。二十世紀以來，復變函數(shù)已被廣泛地應用在理論物理、彈性理論和天體力學等方面，與數(shù)學中其它分支的聯(lián)系也日益密切。第一講　復數(shù)1.復數(shù)的概念2.代數(shù)運算3.共軛復數(shù)CH1§1復數(shù)及其代數(shù)運算一般,任意兩個復數(shù)不能比較大小。1.復數(shù)的概念定義對任意兩實數(shù)x、y,稱z=x+iy或z=x+yi為復數(shù)。復數(shù)z的實部Re(z)=x;虛部Im(z)=y.(realpart)(i

4、maginarypart)復數(shù)的模判斷復數(shù)相等定義z1=x1+iy1與z2=x2+iy2的和、差、積和商為：z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)2.代數(shù)運算四則運算z1+z2=z2+z1；z1z2=z2z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；z1(z2z3)=(z1z2)z3；z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.運算規(guī)律復數(shù)的運算滿足交換律、結合律、分配律。（與實數(shù)相同）即，共軛復數(shù)的性質(zhì)3.共軛復數(shù)定義若z=x+iy,稱?z=x-iy為z的共軛復數(shù).(co

5、njugate)1.點的表示2.向量表示法3.三角表示法4.指數(shù)表示法§2復數(shù)的表示方法1.點的表示點的表示：數(shù)z與點z同義.2.向量表示法oxy(z)P(x,y)xy?稱向量的長度為復數(shù)z=x+iy的模或絕對值；以正實軸為始邊,以為終邊的角的弧度數(shù)稱為復數(shù)z=x+iy的輻角.(z≠0時)輻角無窮多：Argz=θ=θ0+2kπ，k∈Z，把其中滿足的θ0稱為輻角Argz的主值，記作θ0=argz。z=0時，輻角不確定。計算argz(z≠0)的公式當z落于一,四象限時，不變。當z落于第二象限時，加。當z落于第三象限時，減。oxy(z)z1z2z1+z2z2-z1由向量表示法

6、知3.三角表示法4.指數(shù)表示法引進復數(shù)的幾何表示，可將平面圖形用復數(shù)方程（或不等式）表示；反之，也可由給定的復數(shù)方程（或不等式）來確定它所表示的平面圖形。例1用復數(shù)方程表示:（1）過兩點zj=xj+iyj(j=1,2)的直線；（2）中心在點(0,-1),半徑為2的圓。oxy(z)Lz1z2z解（1）z=z1+t(z2-z1)（-∞

7、等于它們的輻角相加。證明設z1=r1(cosθ1+isinθ1)=r1eiθ1z2=r2(cosθ2+isinθ2)=r2eiθ2則z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)(cosθ2+isinθ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]=r1r2ei(θ1+θ2)1.乘積與商因此

8、z1z2

9、=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2幾何意義將復數(shù)z1按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度Argz2，再將其伸縮到

10、z2

11、倍。定理1可推廣到n個復數(shù)的乘積。oxy(z)z1z2z2要使上式成立,必須且只需k=m+n+1