復(fù)變函數(shù)與場論第1講

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1、電子工程學(xué)院復(fù)數(shù)的應(yīng)用:電磁學(xué)流體力學(xué)熱學(xué)彈性理論復(fù)數(shù)研究的發(fā)展:1545年，意大利數(shù)學(xué)家卡丹諾（GirolamoCardano,1501年~1576年）在《大術(shù)》一書中，首先研究了虛數(shù)，并進(jìn)行了一些計(jì)算。1572年，意大利數(shù)學(xué)家邦別RafaclBombclli,1525年~1650年）正式使用“實(shí)數(shù)”“虛數(shù)”這兩個(gè)名詞。此后，德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲（GottfriedWilbclmLcibniz,1646年~1716年）、瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（LeonhardEuler,1707年~1783年）和法國數(shù)學(xué)家棣莫佛（Abraba

2、mdeMoivre,1667年~1754年）等又研究了虛數(shù)與對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等之間的關(guān)系，除解方程以外，還把它用于微積分等方面，得出很多有價(jià)值的結(jié)果，使某些比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡單而易于處理。復(fù)數(shù)研究的發(fā)展:大約在1777年，歐拉第一次用i來表示-1的平方根，1832年，德國數(shù)學(xué)家高斯（CarlFricdrichGauss,1777年~1855年）第一次引入復(fù)數(shù)概念，一個(gè)復(fù)數(shù)可以用a＋bi來表示，其中a，b是實(shí)數(shù)，i代表虛數(shù)單位，這樣就把虛數(shù)與實(shí)數(shù)統(tǒng)一起來了。高斯還把復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)一一對應(yīng)起來，給出了復(fù)數(shù)的一種

3、幾何解釋。復(fù)數(shù)研究的發(fā)展:歐拉高斯主要內(nèi)容:F復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)F解析函數(shù)F復(fù)變函數(shù)的積分F級數(shù)F留數(shù)F共形映射F場論教材參考教材第一講復(fù)數(shù)域復(fù)數(shù)的幾何表示復(fù)數(shù)的乘冪與方根復(fù)數(shù)域:每個(gè)復(fù)數(shù)具有z=x+iy的形式，其中x、y∈R，i是虛數(shù)單位(-1的平方根)。x和y分別稱為的實(shí)部和虛部，分別記作：x=Rez,y=Imz如果Imz=0，則z可以看成一個(gè)實(shí)數(shù)；如果Imz≠0，那么稱z為一個(gè)虛數(shù)；如果Imz≠0，而Rez=0，則稱z為一個(gè)純虛數(shù)。復(fù)數(shù)相等：z=z?x=x,y=y121212復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算:(a+ib)±(a+ib)

4、=(a±a)+i(b±b)11221212(a+ib)(a+ib)=(aa?bb)+i(ab+ab)112212121221(a+ib)aa+bbab?ab)11=1212+i21122222(a+ib)a+ba+b222222V復(fù)數(shù)在四則運(yùn)算這個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)下，構(gòu)成一個(gè)復(fù)數(shù)域(對加、減、乘、除運(yùn)算封閉），記為C，復(fù)數(shù)域可以看成實(shí)數(shù)域的擴(kuò)張。V加法交換律、結(jié)合律、乘法交換律、結(jié)合律和分配律均成立。共軛復(fù)數(shù):z=x?iy,z=x+iy互為共軛復(fù)數(shù)容易z=z,22zz=x+y驗(yàn)證z+z=2x=2Rez,z?z=2iy=2iIm

5、zz+z=z+zzz=zz12121212?z?z?1?1=???z2?z2例1：設(shè)z1、z2是兩個(gè)復(fù)數(shù)，證明：z+z=z+z,zz=zz12121212z=z11證明：設(shè)z=x+iy,z=x+iy111222則，z+z=(x+iy)+(x+iy)121122=(x+x)+i(y+y)1212=(x+x)?i(y+y)1212=x?iy+x?iy=z+z112212例1：則，zz=(x+iy)(x+iy)121122=(xx?yy)+i(xy+yx)12121212=(xx?yy)?i(xy+yx)12121212=(

6、x?iy)(x?iy)=zz112212z=x+iy=x?iy=z111111例2設(shè)z1、是兩個(gè)復(fù)數(shù)，求證：z2222

7、z+z

8、=

9、z

10、+

11、z

12、+2Re(zz),1212122證明：

13、z+z

14、=（z+z）(z+z)121212=（z+z）(z+z）1212=zz+zz+zz+zz1122121222=

15、z

16、+

17、z

18、+zz+zz12121222=

19、z

20、+

21、z

22、+2Re(zz)1212例3設(shè)z1=x1+iy1,z2=x2+iy2為兩個(gè)任意復(fù)數(shù),證明zzz+z=2Re(zz).121212[證]zzz+=+zxi()y()x

23、i?+?y()xiy()xi+y121211221122=++?()xxyyixy()xy12122112+++?()xxyyixy()xy12121221=+=2(xxyy)2Re(zz).121212或zzz+=+=zzzzz2Re(zz).1212121212復(fù)平面:一對有序?qū)嵠矫嫔弦稽c(diǎn)P數(shù)（x，y）復(fù)數(shù)z=x+iy?復(fù)數(shù)域C也可以理解成平面RxR，我們稱C為復(fù)平面（z-平面，w-平面等）。?橫軸稱為實(shí)軸；縱軸稱為虛軸。V復(fù)數(shù)可以等同于平面中的向量。V向量的長度稱為復(fù)數(shù)的模，定義為：22r=

24、z

25、=x+yzV非零

26、實(shí)軸之間的夾角稱為(x,y)復(fù)數(shù)的輻角，記為：ryθ=Argzyθtg(Argz)=xoxθ1是其中的一個(gè)Argz=θ+2kπk=0,±1,±2,……1x=rcosθy=rsinθV輻角主值argz滿足-π