泰勒公式證明必須看

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1、泰勒公式（提高班）授課題目：§3.3泰勒公式教學目的與要求：1.掌握函數(shù)在指定點的泰勒公式；2.了解泰勒公式在求極限及證明命題中的應用.教學重點與難點：重點：幾個常用函數(shù)的泰勒公式難點：泰勒公式的證明講授內(nèi)容：對于一些較復雜的函數(shù)，為了便于研究，往往希望用一些簡單的函數(shù)來近似表達．由于用多項式表示的函數(shù)，只要對自變量進行有限次加、減、乘三種算術運算，便能求出它的函數(shù)值來，因此我們經(jīng)常用多項式來近似表達函數(shù)。在微分的應用中已經(jīng)知道，當很小時，有如下的近似等式：，．這些都是用一次多項式來近似表達函數(shù)的例子．顯然．在處這些—次多項式及其一階導數(shù)的值，分

2、別等于被近似表達的函數(shù)及其導數(shù)的相應值．但是這種近似表達式還存在著不足之處：首先是精確度不高，它所產(chǎn)生的誤差僅是關于的高階無窮??；其次是用它來作近似計算時，不能具體估算出誤差大?。虼?，對于精確度要求較高且需要估計誤差的時候，就必須用高次多項式來近似表達函數(shù)，同時給出誤差公式．于是提出如下的問題：設函數(shù)在含有的開區(qū)間內(nèi)具有直到()階導數(shù)，試找出一個關于()的次多項式(1)來近似表達，要求與之差是比高階的無窮小，并給出誤差的具體表達式．下面我們來討論這個問題．假設在處的函數(shù)值及它的直到階導數(shù)在處的值依次與，，相等，即滿足，，8，，按這些等式來確定多

3、項式(1)的系數(shù).為此，對（1）式求各階導數(shù)，然后分別代人以上等式，得，，，，即得，，，.(2)將求得的系數(shù)代入（1）式，有.下面的定理表明，多項式(2)的確是所要找的次多項式．定理1（泰勒(Taylor)中值定理）如果函數(shù)在含有的某個開區(qū)間()內(nèi)具有直到()階的導數(shù)，則當任一，有,（3）其中，（4）這里是與之間的某個值．證明．只需證明(在與之間)．由假設可知，在()內(nèi)具有直到()階導數(shù)，且8對兩個函數(shù)及在以及為端點的區(qū)間上應用柯西中值定理(顯然，這兩個函數(shù)滿足柯西中值定理的條件)，得(在與之間)，再對兩個函數(shù)與在以及為端點的區(qū)間上應用柯西中值定

4、理，得(在與之間)．照此方法繼續(xù)做下去，經(jīng)過()次后．得(在與之間，因而也在與之間)．注意到（因），則由上式得（在與之間），定理證畢．多項式(2)稱為函數(shù)按()的冪展開的次近似多項式，公式(3)稱為按的冪展開的帶有拉格朗日型余項的階泰勒公式．而的表達式(4)稱為拉格朗日型余項．當時，泰勒公式變成拉格朗日中值公式：(在與之間)．因此，泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推廣．出泰勒中值定理可知，以多項式近似表達函數(shù)時，其誤差為．如果對于某個固定的，當時，，則有估計式：8（5）及由此可見，當時誤差是比高階的無窮小，即．這樣，我們提出的問題完滿地得到解決.

5、在不需要余項的精確表達式時，階泰勒公式也可寫成(7)的表達式（6）稱為佩亞諾（Peano）型余項，公式（7）稱為按的冪展開的帶有佩亞諾型余項的階泰勒公式.在泰勒公式(3)中，，如果取，則在0與之間．因此可令，從而泰勒公式變成較簡單的形式，即所謂麥克勞林(Maclauri)公式()（8）在泰勒公式（7）中，如果取，則有帶有佩亞諾型余項的麥克勞林公式（9）由（8）或（9）可得近似公式：，誤差估計式（5）相應地變成8（10）例1寫出函數(shù)的帶有拉格朗日型余項的階麥克勞林公式．解因為，所以把這些值代入公式(8)，并注意到便得+()．由這個公式可知，若把用它

6、的次近似多項式表達為，這時所產(chǎn)生的誤差為（）.如果取，則得無理數(shù)e的近似式為，其誤差當時，可算出，其誤差不超過．例2求的帶有拉格朗日型余項的n階麥克勞林公式．解因為，，，，，所以等等．它們順序循環(huán)地取四個數(shù)0，1，0，一1，于是按公式(8)得(令)8，其中（）.如果取m＝1，則得近似公式這時誤差為（）如果分別取2和3，則可得的3次和5次近似多項式和，其誤差的絕對值依次不超過和．以上三個近似多項式及正弦函數(shù)的圖形都畫在圖1中，以便于比較．圖1類似地，還可以得到，其中（）；，其中（）；8，其中（）由以上帶有拉格朗日型余項的麥克勞林公式，易知相應的帶有

7、佩亞諾型余項的麥克勞林公式。除了洛必達法則之外，泰勒公式也是極限計算的重要方法。例3利用帶有佩亞諾型余項的麥克勞林公式，求極限解由于分式的分母~，只需將分子中和分別用帶有佩亞諾型余項的三階麥克勞林公式表示，即，于是，對上式作運算時，把兩個比高階的無窮小的代數(shù)和記為，故注本例解法就是用泰勒公式求極限的方法，這種方法的關鍵是確定展開的函數(shù)(如本例中的和)及展開的階數(shù)(如本例中的3階)。補充例題設且.證明：.證明而在點處的一階泰勒公式為即，又由于，故.小結與提問：小結：泰勒公式提供了“判定函數(shù)極值的第二充分條件”的分析依據(jù)；提供了“利用二階導數(shù)符號來判

8、定函數(shù)曲線凹向”8的分析依據(jù)；提供了近似計算的理論基礎。提問：1.泰勒定理的余項有哪些形式?若是在點的階泰勒公式的余項，問下列等式是否成