泰勒公式的證明

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1、泰勒公式定理（peano余項(xiàng)型，洛必達(dá)法則法證明）若存在,則，..叫做在的次泰勒多項(xiàng)式，也叫在的次密切（“切線”）.證法洛必達(dá)法則法的分析.按照洛必達(dá)法則往證即可.記，，注意到，，存在，意味著在內(nèi)還可導(dǎo).允許反復(fù)使用洛必達(dá)法則次.證明連續(xù)次使用洛必達(dá)法則，得不斷添入0，使結(jié)論成為兩個(gè)函數(shù)值之差的比..注1即使函數(shù)能表成，不一定是泰勒多項(xiàng)式.如，由，故.雖然能寫(xiě)成，但是，根據(jù)海因定理，，僅在0點(diǎn)僅1階可導(dǎo)（0的鄰域內(nèi)無(wú)定義）.故并不是在0處的泰勒多項(xiàng)式.注2若能表成，則多項(xiàng)式是唯一的（不論可導(dǎo)性）.因?yàn)槿簦?）則由（1），反代入（1）式又得，反代入（1）式又得……由于極限唯一性，

2、所以，是唯一的.該結(jié)論叫做唯一性引理.它說(shuō)明，peano余項(xiàng)型泰勒公式中，只能由來(lái)逼近（近似），或者說(shuō)，在定理的條件下，來(lái)逼近（近似）是最佳的逼近（近似）.定理（Taylor中值定理，Lagrange余項(xiàng)型，柯西中值定理法證明）若函數(shù)滿足ⅰ在上連續(xù);ⅱ在內(nèi)可導(dǎo).則使.有的教材把改為，定理為：設(shè)函數(shù)在存在導(dǎo)數(shù)，則，.注從證明可見(jiàn)，對(duì)運(yùn)用柯西中值定理時(shí)，對(duì)在處的可導(dǎo)性沒(méi)有要求.證法分析（華東師大本）若能整理成兩個(gè)函數(shù)差的比，可以試用柯西中值定理.顯然時(shí)結(jié)論為0=0，討論無(wú)意義.當(dāng)時(shí)，不妨設(shè).結(jié)論相當(dāng)于.把改為，令，結(jié)論相當(dāng)于，注意到，，結(jié)論即是.由柯西中值定理，代入導(dǎo)數(shù)，證畢.（倘

3、若不把改成，而是令，，雖恰有，，把化成，但用柯西中值定理得不出所要結(jié)論）更一般形式的Taylor中值定理定理（Lagrange余項(xiàng)型）若ⅰ函數(shù)在存在階導(dǎo)數(shù);ⅱ,在或上連續(xù)，在或內(nèi)可導(dǎo)，且.則或，使.特別地，取，可得Lagrange余項(xiàng)型的泰勒公式.更特別地，取，，則叫柯西余項(xiàng).相應(yīng)的泰勒定理叫做帶柯西余項(xiàng)型余項(xiàng)的泰勒公式.證明當(dāng)時(shí)，不妨設(shè).結(jié)論相當(dāng)于.把改為，令，結(jié)論相當(dāng)于.注意到，結(jié)論相當(dāng)于.由柯西中值定理，代入導(dǎo)數(shù)，證畢.特別地，取，可得Lagrange余項(xiàng)型的泰勒公式.更特別地，取，，相應(yīng)的余項(xiàng)就是柯西余項(xiàng).