雙勢(shì)壘中的隧道效應(yīng)及其應(yīng)用-王鑫

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1、陜西理工學(xué)院畢業(yè)論文(設(shè)計(jì))雙拋物線勢(shì)場(chǎng)中的隧道效應(yīng)王鑫(陜西理工學(xué)院物理系2007級(jí)物理學(xué)3班，陜西漢中723000)指導(dǎo)老師：王劍華[摘要]量子力學(xué)中的隧道效應(yīng)是一種重要的物理現(xiàn)象，有著非常廣泛的應(yīng)用.本文從薜定諤方程出發(fā),討論了求解雙拋物線勢(shì)場(chǎng)中的隧道效應(yīng)，給出了相應(yīng)的透射系數(shù)和反射系數(shù)，并對(duì)其進(jìn)行討論，研究其應(yīng)用。[關(guān)鍵詞]薜定諤方程與遂道效應(yīng)；雙拋物線勢(shì)場(chǎng)中粒子的透射系數(shù)；雙拋物線勢(shì)場(chǎng)中粒子的透射系數(shù)；隧道效應(yīng)及其應(yīng)用引言在量子力學(xué)發(fā)展初期，德布羅意根據(jù)光的波粒二象性，提出了物質(zhì)波假說(shuō)，即認(rèn)為微觀粒子（電子、質(zhì)子、中子等）也具有波動(dòng)性。由于微觀粒子具有波動(dòng)性

2、因而它在能量E小于勢(shì)壘高度時(shí)仍能貫穿勢(shì)壘，這種現(xiàn)象稱為隧道效應(yīng)，隧道效應(yīng)完全是由于微觀粒子具有波動(dòng)的性質(zhì)而來(lái)的。1957年，江崎制成了隧道二極管，第一次令人信服地證實(shí)了固體中的電子隧道效應(yīng)的存在。1960年賈埃弗利用隧道效應(yīng)測(cè)量了超導(dǎo)能隙，驗(yàn)證了超導(dǎo)理論。1982年德國(guó)的賓尼等研制成功第一臺(tái)掃描隧道顯微鏡，把隧道效應(yīng)的應(yīng)用推向一個(gè)新的階段。近幾年來(lái)，人們十分關(guān)注分子和半導(dǎo)體量子阱中雙勢(shì)的隧道效應(yīng)問(wèn)題研究[4-8]，氨分子作為一個(gè)典型的三角錐形模型，早在1927年Hund就提出量子隧道效應(yīng)會(huì)對(duì)三角錐形分子的內(nèi)部結(jié)構(gòu)有很大的調(diào)整作用[1]。適當(dāng)選擇外部條件便可在不同程度上

3、控制分子結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性。近幾年來(lái)在介觀尺度的隧道效應(yīng)和光子隧道效應(yīng)方面的研究日益成為熱點(diǎn)[1-9]，如在超導(dǎo)技術(shù)及納米技術(shù)方面的應(yīng)用發(fā)展較為明顯[3]。本文就雙拋物線的隧道效應(yīng)問(wèn)題求解并進(jìn)行討論[2-3]。1薛定諤方程與隧道效應(yīng)在量子力學(xué)中，微觀體系的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是用一個(gè)波函數(shù)來(lái)描寫的，反映微觀粒子運(yùn)動(dòng)規(guī)律的微分方程是對(duì)時(shí)間的一階微分方程，即:(1.1)我們稱它為薛定諤方程（Schr?dingerequation)，式中是表征力場(chǎng)的函數(shù)。如果作用在粒子上的力場(chǎng)是不隨時(shí)間改變的，即力場(chǎng)是以勢(shì)能第8頁(yè)(共8頁(yè))陜西理工學(xué)院畢業(yè)論文(設(shè)計(jì))表征的，它不顯含時(shí)間，這時(shí)定態(tài)波函數(shù)所滿

4、足的方程為:(1.3)稱為定態(tài)薛定諤方程（Schr?dingerequationofstationarystate)，其中表示微觀粒子處于這個(gè)波函數(shù)所描寫的狀態(tài)時(shí)的能量，且其能量具有確定值。設(shè)一個(gè)粒子，沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，其勢(shì)能為:（2.1）這種勢(shì)能分布稱為一維勢(shì)壘。如圖2.1所示，故稱方勢(shì)壘。雖然方勢(shì)壘只是一種理想的情況，但卻是計(jì)算一維運(yùn)動(dòng)粒子被任意場(chǎng)散射的基礎(chǔ)。粒子在區(qū)域內(nèi)，若其能量小于勢(shì)壘高度，經(jīng)典物理來(lái)看是不能超越勢(shì)壘達(dá)到的區(qū)域。在量子力學(xué)中，情況則不一樣。為了討論方便，我們把整個(gè)區(qū)域分為三個(gè)區(qū)域：Ⅰ，Ⅱ，ⅢU(x)U0E(Ⅲ)(Ⅱ)（Ⅰ）a0x圖2.1一維方

5、型勢(shì)壘為了方便起見，將整個(gè)空間劃分為三個(gè)區(qū)域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ區(qū)，則其定態(tài)薛定諤方程為(2.2)當(dāng)時(shí)，透射系數(shù)，反射系數(shù)為（2.4）（2.3）當(dāng)時(shí)，只需令即可，透射系數(shù)第8頁(yè)(共8頁(yè))陜西理工學(xué)院畢業(yè)論文(設(shè)計(jì))(2.5)反射系數(shù)為(2.6)如果粒子能量比勢(shì)壘高度小得多，即，同時(shí)勢(shì)壘的寬度不太大，以致，則，此時(shí)，于是(2.7)為恒大于1的數(shù)值，當(dāng)時(shí)(2.8)當(dāng)?shù)臅r(shí)候，按照經(jīng)典力學(xué)觀點(diǎn)，在情況下，粒子應(yīng)暢通無(wú)阻的全部通過(guò)勢(shì)壘，而不會(huì)在勢(shì)壘上發(fā)生反射。而在微觀粒子的情形，則會(huì)發(fā)生發(fā)射。當(dāng)?shù)臅r(shí)候，從解薛定諤方程的結(jié)果來(lái)看，在勢(shì)壘內(nèi)部存在波函數(shù)。即在勢(shì)壘內(nèi)部找出粒子的概率不為零，同時(shí)

6、在區(qū)域也存在波函數(shù)，所以粒子還可能穿過(guò)勢(shì)壘進(jìn)入?yún)^(qū)域。粒子在總能量E小于勢(shì)壘高度時(shí)仍能貫穿勢(shì)壘的現(xiàn)象稱為遂道效應(yīng)。其中它的數(shù)量級(jí)接近于1，所以透射系數(shù)隨勢(shì)壘的加寬或加高而減小。由上面的結(jié)果我們可以看到，微觀粒子被勢(shì)壘散射有與宏觀粒子完全不同的效應(yīng)。當(dāng)一個(gè)宏觀粒子的能量大于勢(shì)壘高度時(shí)，此粒子將通過(guò)區(qū)域（Ⅱ）而進(jìn)入?yún)^(qū)域（Ⅲ）。但是對(duì)于一個(gè)能量的微觀粒子，不但有穿過(guò)勢(shì)壘的可能，而且還有被反射的可能。如果一個(gè)宏觀粒子的能量，則當(dāng)此粒子在區(qū)域（Ⅰ）內(nèi)由左向右運(yùn)動(dòng)到達(dá)勢(shì)壘邊界時(shí)將被反射，所以粒子不可能穿過(guò)區(qū)域（Ⅱ）而進(jìn)入?yún)^(qū)域（Ⅲ）。但是對(duì)于一個(gè)的微觀粒子卻不然，它既有被反射的可能，

7、也有穿透勢(shì)壘而進(jìn)入?yún)^(qū)域（Ⅲ第8頁(yè)(共8頁(yè))陜西理工學(xué)院畢業(yè)論文(設(shè)計(jì))）的可能，這種貫穿勢(shì)壘的效應(yīng)稱為隧道效應(yīng)。2雙拋物線勢(shì)場(chǎng)中粒子的波函數(shù)下面計(jì)算ABCDEFab0cd（4.1）各個(gè)區(qū)域的薛定諤方程為(4.2)其中令如上圖所示，假設(shè)粒子以一定的能量E從左入射，碰到勢(shì)壘V（x），設(shè)V（x）變化比較緩慢，而且入射粒子能量E不太靠近V（x）的峰值，此時(shí)可以用W.K.B.法來(lái)處理粒子穿透勢(shì)壘的現(xiàn)象。按照經(jīng)典力學(xué)，粒子在x=a處被碰回，但按照量子力學(xué)，考慮到粒子的波動(dòng)性，粒子有一定的幾率穿透勢(shì)壘。當(dāng)然，在許多情況下，這種幾率是很小的?，F(xiàn)在我們就來(lái)計(jì)算雙勢(shì)壘穿