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1、?提綱18-10勢(shì)壘貫穿（隧道效應(yīng)）18-9一維無(wú)限深方勢(shì)阱?隧道效應(yīng)和掃描隧道顯微鏡STM?薛定諤方程?標(biāo)準(zhǔn)化條件及解的物理意義。?幾點(diǎn)討論?力場(chǎng)中粒子的薛定諤方程?定態(tài)薛定諤方程18-8薛定諤方程?自由粒子的薛定諤方程作業(yè)：18-28、29、3218-8薛定諤方程在量子力學(xué)中，微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由波函數(shù)來(lái)描寫(xiě)；狀態(tài)隨時(shí)間的變化遵循著一定的規(guī)律。1926年，薛定諤在德布羅意關(guān)系和態(tài)疊加原理的基礎(chǔ)上，提出了薛定諤方程做為量子力學(xué)的又一個(gè)基本假設(shè)來(lái)描述微觀粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。本章將簡(jiǎn)單介紹量子體系的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)如何用波函數(shù)來(lái)描述；力學(xué)量如何
2、用力學(xué)量算符來(lái)描述。建立薛定諤方程的主要依據(jù)和思路：*要研究的微觀客體具有波粒兩象性，應(yīng)該滿足德布羅意關(guān)系式*滿足非相對(duì)論的能量關(guān)系式，對(duì)于一個(gè)能量為E，質(zhì)量為m，動(dòng)量為P的粒子：*若是方程的解，則也是它的解；若波函數(shù)與是某粒子的可能態(tài)，則也是該粒子的可能態(tài)。因此，波函數(shù)應(yīng)遵從線性方程。*自由粒子的外勢(shì)場(chǎng)應(yīng)為零。?自由粒子的薛定諤方程沿x方向運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能為E和動(dòng)量為的自由粒子的波函數(shù)為自由粒子的質(zhì)量，因?yàn)閯?shì)能為零，所以所以得出一維自由粒子運(yùn)動(dòng)所遵從的薛定諤方程：一個(gè)動(dòng)能為E和動(dòng)量為，即波矢為的自由粒子，在坐標(biāo)表象的波函數(shù)：同樣推廣到
3、三維如下：顯然，波函數(shù)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，可得出：波函數(shù)對(duì)空間求導(dǎo)可得出：定義算符：則得：考慮自由粒子的能量：又因?yàn)椋旱贸觯涸S多單色平面波線性疊加的態(tài)仍是上述方程的解。自由粒子的薛定諤方程量子體系的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由波函數(shù)來(lái)描述，力學(xué)量用力學(xué)量算符來(lái)描述。在一個(gè)確定的量子體系中測(cè)量某些力學(xué)量的值，不一定有確定值。若其中某個(gè)力學(xué)量有確定的測(cè)量值，則該波函數(shù)所描述的狀態(tài)是該力學(xué)量的本征態(tài)。下面簡(jiǎn)單介紹量子力學(xué)算符和經(jīng)典力學(xué)中的力學(xué)量的對(duì)應(yīng)關(guān)系：前面已經(jīng)從經(jīng)典自由粒子的波函數(shù)得出了它應(yīng)滿足的方程，從中我們可得到些啟示，從上式推導(dǎo)可知若有如下對(duì)應(yīng)關(guān)系：可
4、得出：動(dòng)量算符動(dòng)能算符?力場(chǎng)中粒子的薛定諤方程如果粒子在勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，能量：其薛定諤方程：定義哈密頓算符：（也稱(chēng)能量算符）則薛定諤方程為：稱(chēng)為在坐標(biāo)表象中的勢(shì)能算符。?定態(tài)薛定諤方程兩邊除以可得：若作用在粒子上的勢(shì)場(chǎng)不顯含時(shí)間t時(shí)，在經(jīng)典力學(xué)中這相應(yīng)于粒子機(jī)械能守恒的情況，薛定諤方程可用分離變量法求它的特解。由于空間變量與時(shí)間變量相互獨(dú)立，所以等式兩邊必須等于同一個(gè)常數(shù)，設(shè)為E則有：可見(jiàn)E具有能量的量綱與自由粒子波函數(shù)類(lèi)比它代表粒子的能量。把常數(shù)A歸到空間部分，薛定諤方程的特解為：定態(tài)波函數(shù)對(duì)應(yīng)的幾率密度與時(shí)間無(wú)關(guān)。由這種形式的波函
5、數(shù)所描述的狀態(tài)稱(chēng)之為定態(tài)。其波函數(shù)為定態(tài)波函數(shù)。定態(tài)薛定諤方程下面將舉例求解處于定態(tài)下的粒子具有確定的能量E、粒子在空間的概率密度分布不隨時(shí)間變化，而且力學(xué)量的測(cè)量值的幾率分布和平均值都不隨時(shí)間變化。18-9一維無(wú)限深方勢(shì)阱以一維定態(tài)為例，求解已知?jiǎng)輬?chǎng)的定態(tài)薛定諤方程。了解怎樣確定定態(tài)的能量E，從而看出能量量子化是薛定諤方程的自然結(jié)果。已知粒子所處的勢(shì)場(chǎng)為：粒子在勢(shì)阱內(nèi)受力為零，勢(shì)能為零。在阱外勢(shì)能為無(wú)窮大，在阱壁上受極大的斥力。稱(chēng)為一維無(wú)限深方勢(shì)阱。其定態(tài)薛定諤方程：在阱內(nèi)粒子勢(shì)能為零，滿足：在阱外粒子勢(shì)能為無(wú)窮大，滿足：方程的
6、解必處處為零。根據(jù)波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化條件，在邊界上所以，粒子被束縛在阱內(nèi)運(yùn)動(dòng)。在阱內(nèi)的薛定諤方程可寫(xiě)為：類(lèi)似于簡(jiǎn)諧振子的方程，其通解：代入邊界條件得：所以，n不能取零，否則無(wú)意義。因?yàn)榻Y(jié)果說(shuō)明粒子被束縛在勢(shì)阱中，能量只能取一系列分立值，即它的能量是量子化的。結(jié)論：由歸一化條件一維無(wú)限深方勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)的粒子其波函數(shù)：討論：#零點(diǎn)能的存在稱(chēng)為基態(tài)能量。#能量是量子化的。是由標(biāo)準(zhǔn)化條件而來(lái)。能級(jí)間隔：當(dāng)能級(jí)分布可視為連續(xù)的。#稱(chēng)為量子數(shù)；為本征態(tài)；為本征能量。o一維無(wú)限深方勢(shì)阱中粒子的能級(jí)、波函數(shù)和幾率密度穩(wěn)定的駐波能級(jí)n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)能量本征值
7、對(duì)應(yīng)的能量本征函數(shù)組成完備的集合。能量量子數(shù)n從1至?在坐標(biāo)表象中任何一個(gè)疊加態(tài)的波函數(shù)都可用這一組完備的本征函數(shù)展開(kāi)。這組完備集合滿足正交性。所謂疊加態(tài)，就是各本征態(tài)以一定的幾率、確定的本征值、獨(dú)立完整的存在于其中。實(shí)驗(yàn)上物理量的測(cè)量值，是各參加疊加態(tài)的可能的本征態(tài)的本征值?？梢杂帽菊鲬B(tài)出現(xiàn)的幾率來(lái)計(jì)算物理量的平均值。18-10勢(shì)壘貫穿（隧道效應(yīng)）在經(jīng)典力學(xué)中,若,粒子的動(dòng)能為正,,它只能在I區(qū)中運(yùn)動(dòng)。OIIIIII定態(tài)薛定諤方程的解又如何呢？令：三個(gè)區(qū)間的薛定諤方程化為：IIIIII若考慮粒子是從I區(qū)入射，在I區(qū)中有入射波反射
8、波；粒子從I區(qū)經(jīng)過(guò)II區(qū)穿過(guò)勢(shì)壘到III區(qū)，在III區(qū)只有透射波。粒子在 處的幾率要大于在 處出現(xiàn)的幾率。其解為：根據(jù)邊界條件：求出解的形式畫(huà)于圖中。定義粒子穿過(guò)勢(shì)壘的貫穿系數(shù)：IIIIII隧道效應(yīng)當(dāng)時(shí)，勢(shì)壘的寬度約50nm以上時(shí)，貫穿系數(shù)
