巧用面積守恒法求內(nèi)切圓半徑

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1、巧用面積守恒法求內(nèi)切圓半徑蘇科版教材九年級(jí)上冊(cè)《中心對(duì)稱圖形（二）》中有這樣一道練習(xí)題：如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB、BC、CA的長(zhǎng)分別為5、3、4．求△ABC的內(nèi)切圓半徑r．　　　　分析連結(jié)OA、OB、OC，將△ABC分成三個(gè)小三角形△ABO、△BCO和△ACO(如圖2)．這三個(gè)三角形都具有下列特征：即分別以△ABC的三邊AB、BC、AC為底，其邊上的高都為內(nèi)切圓的半徑r，則可用面積守恒來(lái)解決問(wèn)題．變式一如圖3，已知△ABC的周長(zhǎng)和面積都為16，求這個(gè)三角形的內(nèi)切圓半徑．分析連結(jié)AO、BO、CO，將△ABC分成

2、三個(gè)小三角形△ABO、△BCO和△ACO．他們分別以三邊AB、BC、AC為底，內(nèi)切圓半徑r為高．變式一可以幫我們總結(jié)出已知三角形的周長(zhǎng)c和面積s，得出這個(gè)三角形的內(nèi)切圓半徑．變式二如圖4，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AB、BC、CA的長(zhǎng)分別為5、4、3．⊙O分別與AB及CA、CB的延長(zhǎng)線相切，求⊙O的半徑，分析3本題雖不是求內(nèi)切圓半徑，但是依然可以用面積守恒的方法來(lái)解決．與課本題類似，只要連結(jié)OA、OB、OC，再連接圓心與各邊的切點(diǎn)，就容易得到變式三如圖5，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AB、BC、CA的長(zhǎng)分別為5、3

3、、4．其中有兩個(gè)互相外切的等圓都與斜邊相切，且分別與兩直角邊相切，求兩個(gè)等圓的半徑的長(zhǎng)．分析因?yàn)楸绢}當(dāng)中沒(méi)有特殊角度，只有直角三角形的三條邊長(zhǎng)，乍一看很難找到方法．但如果能利用面積守恒法解決本題，就比較容易了．　　拓展延伸如圖6，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4．其中⊙O1，⊙O2，…，⊙On為n(n≥2)個(gè)相等的圓，且相鄰兩圓都外切，他們都與邊AB相切．其中⊙O1與AC邊相切，⊙On與BC邊相切．求這些等圓的半徑r（用n表示）．分析和變式三類似，將三角形分割成四部分，利用四部分的面積和等于三角形ABC的面積

4、易解本題．3反思本文列舉的求三角形內(nèi)切圓半徑問(wèn)題的相似之處在于，圓都與直角三角形斜邊相切，一個(gè)圓（或幾個(gè)等圓）分別與兩條直角邊相切，幾個(gè)圓之間相外切，這就提示我們，連結(jié)圓心和切點(diǎn)的半徑必垂直于切線，這條半徑就是連結(jié)頂點(diǎn)與圓心所成的三角形的高，進(jìn)而可以用內(nèi)切圓半徑r表示三角形（或梯形）面積．當(dāng)然，解決變式三及其拓展，面積守恒并不是唯一的方法，以變式三為例，還可以將⊙O2連同BC邊向左平移，使⊙O2與⊙O1重合，利用相似三角形來(lái)解答．3